LEK (na nudę), czyli Letni Edukacyjny Konkurs. Czy czworokąt można wpisać w okrąg, jeżeli stosunek m.... Question from @Moderator

January 2019 1 30 Report

LEK (na nudę), czyli Letni Edukacyjny Konkurs.

Czy czworokąt można wpisać w okrąg, jeżeli stosunek miar kątów przy wierzchołkach A,B,C,D wynosi odpowiednio:
a) 3:6:10:7
b) 6:3:10:7
c) 10:8:10:8 ?

Poziom: liceum/technikum

======================================

Ilość punktów za rozwiązanie jest niewielka (aby nie kusić spamerów i trolli), ale informuję, że najlepsza odpowiedź, którą wybierze Kapituła LEKu otrzyma dodatkową ilość punktów.

Paawełek Rozwiązuję, ponieważ dostałem link do zadania..

Przyjmijmy oznaczenia:
$\angle A = \alpha \\ \angle B = \beta \\ \angle C = \gamma \\ \angle D = \delta$

Czworokąt można wpisać w okrąg z definicji, gdy $\alpha + \gamma = \beta + \delta$

W podanych zadaniach wystarczy tylko wyznaczyć miary tych kątów.

a) Są w stosunku 3:6:10:7. Niech "x" będzie taką miarą kąta dla której:
$\alpha = 3x \\ \beta= 6x \\ \gamma=10x \\ \delta = 7x$

Wtedy dla każdej wartości "x" stosunek kątów przy A, B, C, D jest równy podanemu. Suma miar kątów w czworokącie to 360 stopni. Co nam daje:

$3x+6x+10x+7x=360^{\circ} \\ 26x=360^{\circ} \qquad /:26 \\ \\ x=\dfrac{360}{26}=\dfrac{180}{13} \\ \hbox{Wtedy:} \\ \\ \alpha=3x= \dfrac{540}{13} \\ \beta=6x=\dfrac{1080}{13} \\ \gamma = 10x= \dfrac{1800}{13} \\ \delta=7x=\dfrac{1260}{13} \\ \\ \alpha + \gamma = \dfrac{540}{13}+\dfrac{1800}{13}=\dfrac{2340}{13} \\ \\ \beta+\delta =\dfrac{1080}{13}+\dfrac{1260}{13}=\dfrac{2340}{13}$

ponieważ te sumy są równe, ten czworokąt da się wpisać okrąg.

w b) i c) postępujemy analogicznie.

b)

$\alpha = 6x \\ \beta =3x \\ \gamma=10x \\ \delta = 7x \\ \\ 6x+3x+10x+7x=360 \\ 26x=360 \qquad /:26 \\ \\ x=\dfrac{180}{13} \\ \\ \alpha=\dfrac{1080}{13} \\ \beta=\dfrac{540}{13} \\ \gamma=\dfrac{1800}{13} \\ \delta=\dfrac{1260}{13} \\ \\ \alpha+\gamma= \dfrac{1080}{13}+\dfrac{1800}{13}=\dfrac{2880}{13} \\ \\ \beta+\delta=\dfrac{540}{13}+\dfrac{1260}{13}=\dfrac{1800}{13}$

Sumy są sobie nierówne, więc w tym wypadku nie możemy.

C)

$\alpha = 10x \\ \beta = 8x \\ \gamma=10x \\ \delta = 8x \\ \\ 10x+8x+10x+8x=360^{\circ} \\ 36x=360^{\circ} \qquad /:36 \\ x=10^{\circ} \\ \\ \alpha= 10 \cdot 10^{\circ}= 100^{\circ} \\ \beta=8 \cdot 10^{\circ}=80^{\circ} \\ \gamma= 10 \cdot 10^{\circ}=100^{\circ} \\ \delta = 8 \cdot 10^{\circ}=80^{\circ} \\ \\ \hbox{Poniewaz:} \\ \\ \alpha+\gamma = 100^{\circ}+100^{\circ} =200^{\circ} \neq 80^{\circ}+80^{\circ}=160^{\circ}=\beta+\delta$

W tym wypadku również nie możemy
--------------------------------------------------------------

Jednakże można jeszcze pokazać ogólnie zadając sobie pytanie: "Dany jest czworokąt o kątach w stosunku a:b:c:d. Kiedy można go wpisać w okrąg?

Odpowiedź można wykazać idąc analogią:

$\alpha = ax \\ \beta= bx \\ \gamma=cx \\ \delta = dx \\ \\ ax+bx+cx+dx=360 \\ (a+b+c+d)x=360 \qquad /:(a+b+c+d) \\ \\ x=\dfrac{360}{a+b+c+d} \\ \\ \hbox{Wowczas:} \\ \\ \alpha+\gamma= \dfrac{360a}{a+b+c+d}+\dfrac{360c}{a+b+c+d}=\dfrac{360(a+c)}{a+b+c+d} \\ \\ \beta+\delta=\dfrac{360b}{a+b+c+d}+\dfrac{360d}{a+b+c+d}=\dfrac{360(b+d)}{a+b+c+d}$

No i rozwiązując równanie:
$\alpha+\gamma=\beta+\delta \\ \\ \hbox{Dochodzimy do wniosku, ze:} \\ \\ \dfrac{360(a+c)}{a+b+c+d}=\dfrac{360(b+d)}{a+b+c+d} \\ \\ \hbox{SKAD:} \\ \\ \boxed{a+c=b+d}$

ZATEM:
a) MOŻNA, ponieważ 6+7 = 3+10
b) NIE MOŻNA, ponieważ 6+10 ≠ 7+3
c) NIE MOŻNA, ponieważ 10+10 ≠ 8+8

:)

3 votes Thanks 1