Question

Supóngase que un estudiante de la UNAD es portador del virus de la gripe y teniendo en cuenta ello, va al CEAD de Medellín donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de infectados sino también a la cantidad de no infectados. Plantee la ecuación diferencial a desarrollar y determine la cantidad de estudiantes infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50

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RESPUESTA:

Planteamos nuestra ecuación diferencial de tal manera que:

dI/dt = k·I·(5000-I)

• I: infectados
• 5000-I = no infectados
• t = tiempo
• k = constante de proporcionalidad

Separamos y tenemos:

dI/I·(5000-I) = k·dt

Integramos:

∫dI/I·(5000-I) = ∫k·dt

1/5000 · [ln(I) - ln(5000-I)] = k·t + C

I/(5000-I) = Ce^(5000kt) → Ecuación base

Buscamos los valores de C y k, sabemos que:

• t = 0 días ----------> 1 infectado
• t = 4días ----------> 50 infectados

Sustituimos las condiciones en la ecuación base:

→ 1/(5000-1) = Ce^(5000k(0)) ∴ C = 1/4999

→ 50/(5000-50) = 1/4999 · e^(5000k(4))  ∴ ln(4999/99) = 20000k ∴ k = 1.96x10⁻⁴

Entonces nuestra ecuación diferencial será:

I/5000-I = 1/4999 · e^(0.980468t)  → Ecuación final

Si t = 6 días, entonces usamos nuestra ecuación final:

I/5000-I = 1/4999 · e^(0.980468·(6))

I/5000-I = 0.07177743

x = 334.85 ≈ 335 infectados

Por tanto, a los 6 días se tendrá aproximadamente 335 infectados.