Question

Suma szóstego i dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego jest równa 52, a różnica kwadratu dziesiątego wyrazu i kwadratu szóstego wyrazu jest równa 624.
a) Wyznacz pierwszy wyraz i różnice tego ciągu.
b) Podaj wzór ogólny tego ciągu.
c) Oblicz, ile początkowych wyrazów ciągów daje w sumie 735.

Answer 1

Suma szóstego i dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego jest równa 52, a różnica kwadratu dziesiątego wyrazu i kwadratu szóstego wyrazu jest równa 624.
a) Wyznacz pierwszy wyraz i różnice tego ciągu.



a6 +a10 = 52
(a10)² - (a6)² = 624

a6 = a + 5r
a10 = a +9r

a+5r + a + 9r = 52
(a+9r)² - (a+5r)² = 624

a = 26-7r
a² + 18ar+81r - a² -10ar -25r² = 624

a= 26-7r
8ar +56r² = 624

a = 26-7r
ar +7r² = 78

(26-7r)r + 7r² = 78
26r - 7r² + 7r² = 78
26r = 78
r = 3
a = 26-21 = 5
pierwszy wyraz jest rowny 5 a roznica 3

b) Podaj wzór ogólny tego ciągu.
n nalezy do N dodatnich
an = a1 + (n-1)r
an = 5 + (n-1)3
an = 5+3n-3
an = 3n + 2

c) Oblicz, ile początkowych wyrazów ciągów daje w sumie 735.
Sn = a1+an/2 * n = [5 + 3n + 2 ]/2 *n
735*2 = (3n + 7)n
1470 = 3n² + 7n
3n² + 7n - 1470 = 0
delta = 17689

n = -7-133 / 6 = -23,(3) nie nalezy do N+
lub
n = -7+133 / 6= 21