Question

Suma szóstego i dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego jest równa 52, a różnica kwadratu dziesiątego wyrazu i kwadratu szóstego wyrazu jest równa 624
a) Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
b) Podaj wzór ogólny wyrazu tego ciągu.
c) Oblicz, ile początkowych wyrazów ciągu daje w sumie 735.

Answer 1

Suma szóstego i dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego jest równa 52, a różnica kwadratu dziesiątego wyrazu i kwadratu szóstego wyrazu jest równa 624
a) Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
b) Podaj wzór ogólny wyrazu tego ciągu.
c) Oblicz, ile początkowych wyrazów ciągu daje w sumie 735.

a)a₆+a₁₀=52stąd a₆=52-a₁₀ wstawiamy do 2-go r-nia
a₁₀²- a₆²=624 stąd
(a₁₀-a₆)(a₁₀+a₆)=624
(a₁₀-52+a₁₀)(a₁₀+52-a₁₀)=624
(2a₁₀-52)*52=624/:52
2a₁₀=12+52
2a₁₀=64/:2
a₁₀=32
a₆= 20

b) Podaj wzór ogólny wyrazu tego ciągu.
an= 45+(20-1)*n= 45+19n
c) Oblicz, ile początkowych wyrazów ciągu daje w sumie 735.

S= (a₁+an/2)*n

wtedy
a₁₀=a₁+9r
a₆=a₁+5r

32=a₁+9r
20=a₁+5r stąd a₁=5r-20

32= 5r-20+9r= 4r-20
20+32=4r
52=4r/:4
13=r
a₁= 65-20=45
Zatem pierwszy wyraz ciągu jest równy 45 a różnica 13
b) an= 45+19n
c) Oblicz, ile początkowych wyrazów ciągu daje w sumie 735.
735=( 45+45+19n)/2*n/*2
1470=90n+19n²
-19n²-90n +1470=0
Δ=8100 +4*19*1470= 119 820
√Δ=346
n= 90-346/2<0 sprzeczne
n= 90+346/2=218