Question

Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym -1 wynosi 8, natomiast suma 2n pierwszy wyrazów wynosi 48. Znajdź n.

Answer 1

an = -1 + (n -1)*r

a2n = -1 + (2n - 1)*r

zatem

Sn = 0,5 *[ - 1 -  an]*n = 0,5*[ - 1 - 1 + (n -1)*r]*n = 8    / * 2

S2n = 0,5 *[ -1 + a2n]*2n = 0,5*[ - 1 - 1 + (2n -1)*r]*n = 48  / *2

-------------------------------------------------------------------------------

-2 n + 2*(n-1)*n*r = 16

- 4n + 4*(2n -1)*n*r = 96

-------------------------------

-2n + 2n^ 2*r - 2n*r = 16 / : 2

- 4n + 8 n^2 *r - 4n*r = 96  / : 4

---------------------------------------

- n + n^2 *r - n*r = 8

- n + 2 n^2 *r - n*r = 24

-------------------------------

r*(n^2 - n) = n + 8

r = ( n + 8)/( n^2 - n )

---------------------------

Wstawiam do II równania za r :

-n + 2 n^2 * [ ( n + 8)/( n^2 - n)] - n *[ ( n + 8)/( n^2 - n)] = 24

-n + 2n*[( n + 8)/( n -1)] - ( n + 8)/( n -1) = 24  / * ( n - 1)

-n*( n-1) + 2n*( n + 8)  - ( n + 8) = 24 n - 24

- n^2 + n + 2 n^2 + 16 n  - n - 8  = 24 n - 24

n^2 - 8n + 16 = 0

( n - 4)^2 = 0

n - 4 = 0

n = 4

=============

Odp.  n = 4

=================