Question

Sprawdź czy liczby
a=(sin60° + cos 60°)² i b=sin²15⁰ - cos30⁰+cos²15⁰
są pierwiastkami wielomianu w(x)= 4x³- 8x²+x

Answer 1

a= (sin 60⁰ + cos 60⁰)² = ( √3/2 + 1/2)² =[ ( √3 +1)/2]² =
= [3 +2√3 +1]/4 = [4 +2√3]/4 = 1 +√3/2
b = sin²15⁰ - cos 30⁰ +cos² 15⁰ =( sin²15⁰ + cos²15⁰) - √3/2 =
= 1 - √3/2
Czy liczby a oraz b są pierwiastkami wielomianu
W(x) = 4 x³ - 8 x² + x
W(x) = x* ( 4x² -8x +1)
a = 1 +√3/2
4 a² - 8 a + 1 = 4*(1 +√3/2)² - 8*(1 +√3/2) +1 = = 4*( 1+√3 + 3/4 ) - 8 -4√3 + 1 = 4 + 4√3 + 3 - 7 -4√3 = 0
zatem
W(1 +√3/2) = (1+√3/2)* 0 = 0
b = 1 - √3/2
4 b² - 8 b + 1 = 4*(1 - √3/2)² - 8* (1 - √3/2) +1 =
= 4*(1 - √3 + 3/4) - 8 + 4√3 + 1 = 4 -4√3 +3 - 7 + 4√3 = 0
zatem
W( 1 - √3/2) = ( 1 - √3/2)* 0 = 0
czyli liczby a oraz b są pierwiastkami tego wielomianu.