Situación 1 Santiago vive en la comunidad de Cantagallo, para generar ingresos para su familia, ha decidido criar gallinas. Para ello cuenta con 60 metros de malla metálica para construir un corral de forma rectangular; además, se quiere aprovechar una pared de su casa. ¿Cuáles serán las dimensiones del corral a construir de manera que tenga la mayor área posible?
Las dimensiones necesarias para que el corral tenga la mayor área posible son: 30 metros en el lado paralelo a la pared de la casa y 15 metros en los laterales.
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área del corral.
Llamamos
x longitud del lado paralelo a la pared, en metros
h longitud de los laterales, en metros
La función objetivo viene dada por:
Área = A = xh m²
Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la cantidad (M) de malla disponible (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x:
[tex]\bold{M~=~x~+~2h~=~60\qquad \Rightarrow\qquad h~=~\dfrac{60~-~x}{2} ~=~30~-~\dfrac{x}{2}}[/tex]
por tanto la función objetivo es
[tex]\bold{A~=~x[30~-~\dfrac{x}{2}]~=~30x~-~\dfrac{x^2}{2}}[/tex]
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
[tex]\bold{A'~=~30~-~x}[/tex]
[tex]\bold{A'~=~0 \qquad \Rightarrow \qquad 30~-~x~=~0\qquad \Rightarrow\qquad x~=~30}[/tex]
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
[tex]\bold{A''~=~-1}[/tex]
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
[tex]\bold{A''_{(30)}~=~-1~<~0\qquad \Rightarrow \qquad x~=~30}[/tex]
es un máximo de la función A.
Sustituimos el valor de la longitud del lado x en la ecuación de cálculo del lateral h:
[tex]\bold{h~=~30~-~\dfrac{(30)}{2}~=~15}[/tex]
Las dimensiones necesarias para que el corral tenga la mayor área posible son: 30 metros en el lado paralelo a la pared de la casa y 15 metros en los laterales.
Respuesta:
Las dimensiones necesarias para que el corral tenga la mayor área posible son: 30 metros en el lado paralelo a la pared de la casa y 15 metros en los laterales.
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área del corral.
Llamamos
x longitud del lado paralelo a la pared, en metros
h longitud de los laterales, en metros
La función objetivo viene dada por:
Área = A = xh m²
Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la cantidad (M) de malla disponible (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x:
por tanto la función objetivo es
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
es un máximo de la función A.
Sustituimos el valor de la longitud del lado x en la ecuación de cálculo del lateral h:
Las dimensiones necesarias para que el corral tenga la mayor área posible son: 30 metros en el lado paralelo a la pared de la casa y 15 metros en los laterales.
Explicación paso a paso:
Espero que te ayude...................................................................................................................