Question

Sean a y b números enteros positivos. Estos números se llaman amigos si el producto ab
es un cuadrado perfecto. Demostrar que:
a) [2 puntos] Si a es amigo de b y b es amigo de c, entonces a es amigo de c.

Answer 1

Sean x e y números enteros positivos.
x² e y² son cuadrados perfectos,
sea,
ab = x², 
bc = y²,

Despejando b en ambas ecuaciones:
b= x²/a
b= y²/c

Como b=b
x²/a= y²/c
cx² = ay²
c/a=y²/x²

Multiplicando por a² en ambos lados:
ca= a²y²/x²
ca= (ay/x)²

Es decir ca también es un cuadrado perfecto, es el cuadrado de ay/x, 
Como el 0 no es positivo ni negativo, entonces no hay lió.