Question

Sea x un número real. Prueba usando la unicidad del inverso aditivo que -(-x)=x​

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Demostración de -(-x) = x

Lo que debemos saber para dicha demostración es lo siguiente :

• El inverso aditivo y multiplicativo son únicos, es decir no existe mas de un numero tal que  

• x + y = 0          ∧         x * y = 1

            ↓                                  ↓

        Aditivo                 Multiplicativo

Empecemos

Suponemos que x ∈ Reales también se tiene que m y n son inversos aditivos de x ( vamos a demostrar que al final m = n )

Por la definición de inverso aditivo

               x + n = 0      ∧      x + m = 0

sabemos lo mas lógico :

               m  =  m

Pero también podemos expresarlo de la siguiente manera

              m  =  m  +   0

Pero :            x + n = 0     ∧      x + m = 0    

Entonces :    m = (m + x) + n

                     m = 0 + n

                     m = n  .... L.q.q.d

Como el inverso aditivo es único ( m=n ) entonces en esta prueba m = (-x)

         Por la definición de inverso aditivo

                    m  +  x  =  0

                  (-x)  +  x  =  0

      sabemos

           -(-x) = -(-x) + 0

           -(-x) = -(-x) + (-x) + x

           -(-x) =    0  +  x

          -(-x) =   x .....L.q.q.d

Un cordial saludo.