Question

Sea la transformación lineal T: R³ →R² definida por:
T(x,y,z) = (x-y-z, 2x-y-z)
-Hallar el núcleo de la transformación lineal.
-Hallar la imagen o recorrido de la transformación lineal.

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Respuesta:

Explicación paso a paso:

Para resolver el ejercicio se procede de la siguiente manera :

                                                           →             →     →

   El núcleo está dado por :  N(T)= { v ∈R³/  T(v) = 0 R²  }

                                          →

    Se dispone el vector    v = (  x , y , z ) , cuya imagen es :

           →

      T (  v) = ( x - y -z , 2x -y -z ) = ( 0, 0 )

       igualando términos :

        x - y - z =0         x = y + z

       2x -y -z =0        2x - ( y+z)= 0   2x-x =0     x =0

    y = -z      si z = k ∈R       y = -k     z = k

      x =0   y = -k   z = k

     →

     V = ( 0 , -k , k )   siendo el núcleo de la transformación :

      N(T) = { ( 0 , -k ,k)  / k ∈R }

    Para determinar el recorrido o imagen de la transformación lineal, se toma en cuenta el dominio :

  R³ = { ( x , y,z ) / x, y,z ∈R }    dim R³ = 3

   La base canónica del dominio R³ es: { ( 1,0,0) ; ( 0,1,0) ; ( 0,0,1) }

    T( 1,0,0 ) =( 1-0-0, 2*1-0-0)=( 1 , 2 )

    T( 0,1,0) = ( 0-1-0 , 2*0 -1-0 )=( -1 , -1)

    T( 0,0,1 ) = ( 0-0-1 , 2*0 -0-1 )=( -1, -1)

   El recorrido es:  { (  1,2 ) ; ( -1,-1) ; ( -1, -1) }