Question

Se quiere construir un puente peatonal sobre un río, tal como se muestra en el dibujo siguiente. El puente debe estar sostenido por un arco parabólico, es decir, tiene la forma de una parábola invertida.


Encuentra la ecuación de la parábola del arco tomando el origen de las coordenadas en la parte izquierda del puente, como se muestra en el dibujo.

Para sostener la plataforma del puente se piensa poner tirantes apoyados en el arco, a una distancia de 3m cada uno. Calcula la longitud de los tirantes de la parte izquierda del puente.

Answer 1

Se quiere construir un puente peatonal sobre un río, tal como se muestra en el dibujo siguiente. El puente debe estar sostenido por un arco parabólico, es decir, tiene la forma de una parábola invertida.

Encuentra la ecuación de la parábola del arco tomando el origen de las coordenadas en la parte izquierda del puente, como se muestra en el dibujo.

Para sostener la plataforma del puente se piensa poner tirantes apoyados en el arco, a una distancia de 3m cada uno. Calcula la longitud de los tirantes de la parte izquierda del puente.

Hola!!!

Según gráfico del ejercicio tenemos que la Parábola es Vertical, su Vértice está fuera del Origen y Concavidad negativa  ⇒

Ecuación Ordinaria: (X - h)² = -4p×(y - k)    

Siendo " h " y " k " coordenadas del vértice y " p " distancia del Foco al Vértice

Por gráfico sabemos que: h = 40/2 ⇒  h = 20

Sabemos que el Lado Recto = 4p = 40 ⇒

Tenemos -4p = 40 ⇒ p = 40/-4   ⇒

p = -10    ⇒ k = (-10 + 8 )    ⇒

k = -2    

Coordenadas del Vértice  V (h ; k) = V (20 ; 2)

Sustituimos los valores y desarrollamos la ecuación:

(X - h)² = -4p×(y - k)  

(X - 20)² = -40×(y - k)

x² - 40x + 400 = -40×(y +2)   ⇒

x² - 40x + 400 = -40y - 80

x² - 40x + 400 + 40y + 80 = 0

x² - 40x + 40y + 480 = 0

Ecuación General de la Parábola :  x² - 40x + 40y + 480 = 0

Si los tirantes están cada 3 m, hasta la mitad de la Parábola tendremos 6 de ellos sin considerar el primero en el borde del Puente y el de la mitad del puente.

Para hallar la longitud de los tirantes debemos sustituir en la ecuación hallada por los valores de la posición de " x " de cada tirante y obtendremos el valor en " y " que será el largo buscado:

El Largo de los tirantes estará entre los 8 mts (extremo izquierdo) y los 2 mts que se tiene en el centro del puente (vértice):

Hallamos la Ecuación reducida de la Parábola:

Despejamos " y ":

x² - 40x + 40y + 480 = 0  

40y = -x² + 40x - 480   ⇒

y = -x²/40 + 40x/40 - 480/40  ⇒

y = -x²/40 + x - 12        Ecuación Reducida de la Parábola

Tirante Nº 1:  x = 3  ⇒

y = -x²/40 + x - 12

y = -(3)²/40 + 3 - 12

y = ║-9.225║  ⇒

y = 9.225  

Sabemos que el Máximo = 8 m   ⇒

Tirante Nº 1 = 8 metros

Tirante Nº 2 : x = 6  ⇒

y = -x²/40 + x - 12  

y = -(6)²/40 + 6 - 12

y = ║--6.9║  ⇒

y = 6.9

Tirante Nº 2 = 6.9 metros

Tirante Nº 3 : x = 9  ⇒  

y = -x²/40 + x - 12  

y = -(9)²/40 + 9 - 12

y = ║-5.025║  ⇒

y = 5.025  ⇒

Tirante Nº 3 = 5.025 metros

Tirante Nº 4:  x = 12  ⇒

y = -x²/40 + x - 12

y= -(12)²/40 + 12 - 12

y = ║-3.6║   ⇒

y = 3.6  ⇒

Tirante Nº 4 = 3.6 metros

Tirante Nº 5:  x = 15  ⇒

y = -x²/40 + x - 12  

y = -(15)²/40 + 15 - 12

y = ║-2.6║  ⇒

y = 2.6  ⇒

Tirante Nº 5 = 2.6 metros

Tirante Nº 6:  x = 18  ⇒

y = -x²/40 + x - 12

y = -(18)²/40 + 18 - 12

y = ║2.1║  ⇒

y = 2.1

Tirante Nº 6 = 2.1 metros

Como podemos apreciar todo sigue una lógica, la medida de los los tirantes verifican la ecuación hallada entre el entorno de y =║-8║ e y = ║-2║

Dejo un archivo con el esquema gráfico.

Espero haber ayudado!!!

Saludos!!!