Se desea construir un tanque con una base cuadrada horizontal y lados rectangulares verticales. El tanque no tendrá tapa y deberá tener una capacidad de 4 metros cúbicos de agua.
El material con que se construirá tiene un costo de 10 dólares el metro cuadrado . ¿Qué dimensiones del tanque minimizan los costos debido al material?
El material con que se construirá tiene un costo de 10 dólares el metro cuadrado . ¿Qué dimensiones del tanque minimizan los costos debido al material?
Respuesta:
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Explicación paso a paso:
[La imagen adjunta]
Saludos
La función demanda de determinado artículo es D(p) = 40 − 2p en donde p es el precio por unidad.
Halla la función de ingreso multiplicando la demanda (D(p)) por el precio del artículo (p).
¿Cuál debe ser el precio para que el ingreso sea máximo? Halla dicho ingreso máximo
Aplicando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos se llega a la conclusión que 2 m de lado de la base cuadrada y 1 m de altura son las dimensiones del tanque que minimizan los costos debido al material.
¿Cómo se obtiene el costo mínimo?
La función objetivo es el costo C de construcción del tanque basado en el área superficial del mismo.
Si llamamos y a la altura del tanque y x a la longitud del lado de la base; la función objetivo viene dada por la suma del costo de los cuatro lados rectangulares y la cara inferior cuadrada, a 10 dólares por metro cuadrado:
[tex]\bold{C~=~(10)x^{2}~+~(10)(4)xy~=~10x^{2}~+~40xy}[/tex]
Lo conveniente es que el Costo esté expresado solo en función de una variable, por lo que usaremos el volumen V conocido (ecuación auxiliar) para despejar y en función de x:
[tex]\bold{V~=~x^{2}y~=~4\qquad \Rightarrow\qquad y~=~\dfrac{4}{x^2}}[/tex]
por tanto la función objetivo es
[tex]\bold{C~=~10x^{2}~+~40x(\dfrac{4}{x^2})~=~10x^{2}~+~\dfrac{160}{x}}[/tex]
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de C.
[tex]\bold{C'~=~20x~-~\dfrac{160}{x^2}}[/tex]
[tex]\bold{C'~=~0 \qquad \Rightarrow \qquad 20x~-~\dfrac{160}{x^2}~=~0\qquad \Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{20x^3~-~160~=~0\qquad \Rightarrow\qquad x~=~2}[/tex]
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
[tex]\bold{C''~=~20~+~\dfrac{320}{x^3}}[/tex]
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
[tex]\bold{C''(2)~=~20~+~\dfrac{320}{(2)^3}~ > ~0\qquad \Rightarrow \qquad x~=~2}[/tex]
es un mínimo de la función C.
Sustituimos el valor de la longitud del lado en la ecuación de cálculo de la altura y:
[tex]\bold{y~=~\dfrac{4}{(2)^2}~=~1}[/tex]
2 m de lado de la base cuadrada y 1 m de altura son las dimensiones del tanque que minimizan los costos debido al material.
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