Question

Samochód jedna polowe drogi przebyl z predkoscia v1 a druga polowe z predkoscia v2. Oblicz predkosc srednia na calej drodze.

Samochod pierwsza polowe czasu przejechal z czasem t1 a druga polowe z t2. Oblicz czas sredni na calej drodze.

Answer 1

Samochód jedna polowe drogi przebyl z predkoscia v1 a druga polowe z predkoscia v2. Oblicz predkosc srednia na calej drodze.

dane:

 

szukane:

 

 

 

Samochod pierwsza polowe czasu przejechal z czasem t1 a druga polowe z t2. Oblicz czas sredni na calej drodze.

dane:

 

szukane:

 

 

 

Answer 2

1. Sytuacja.

Pierwszą połowę drogi samochód pokonał w czasie: t₁=½s/v₁

Drugą połowę natomiast w czasie: t₂=½s/v₂

Całą drogę pokonał w czasie: t=t₁+t₂

Zatem:

v(śr)=s/t=s/t₁+t₂

v(śr)=s/(½s/v₁+½s/v₂)=s/(½s(1/v₁+1/v₂))=1/(1/v₁+1/v₂)/2

Jest to średnia harmoniczna prędkości v₁ i v₂.

 

v(śr)=1/(1/v₁+1/v₂)/2=2/(1/v₁+1/v₂)=2/(v₂/v₁v₂+v₁/v₁v₂)=2/v₁+v₂/v₁v₂=2v₁v₂/v₁+v₂

v(śr)=2v₁v₂/v₁+v₂   

 

2. Sytuacja. Jeżeli samochód pokonał pierwszą połowę czasu, to znaczy, że były 2 równe połowy czasu, czyli oznaczenie t₁ oraz t₂ nie ma najmniejszego sensu, gdyż wartość zwana "czas średni" nie istnieje. Liczymy tylko prędkość średnią, a więc prędkość średnia z 2-ma równymi połowami czasu i prędkościami v₁ oraz v₂:

v=s/t
s=v*t
t=s/v 

W pierwszej połowie czasu pokonujemy drogę:

s₁=½t*v₁

W drugiej połowie czasu pokonujemy drogę:

s₂=½t*v₂

Zatem cała droga:

s=½t*v₁+½t*v₂=½t(v₁+v₂)

Ale:

v(śr)=s/t=½t(v₁+v₂)/t=½(v₁+v₂)

Zatem mamy:

v(śr)=½(v₁+v₂)