Question

Rozwiąż układ równań.

x³ + y³ = 7(x+y)
x³ - y³ = 19(x-y)

Answer 1

Potrzebne wzory
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
1.suma szescianow jest rowna iloczynowi sum razy niepelny kwadrat roznicy
2.roznica szescianow jest rowna iloczynowi roznicy razy niepelny kwadrat sumy

x³ + y³ = 7(x+y)
x³ - y³ = 19(x-y)
----------------------------
(x + y)(x²-xy+y²) = 7(x+y)
(x - y)(x²+xy+y²) = 19(x-y)
----------------------------------
(x + y)[(x²-xy+y²) - 7]=0 →x + y=0 ∨ (x²-xy+y²) =7
∧
(x - y)[(x²+xy+y²) -19] =0 →x - y=0 ∨(x²+xy+y²) =19
--------------------------------------------------------------
sa 4 mozliwosci
najpierw uklad rownan jednorodnych
(x²-xy+y²) =7
(x²+xy+y²) =19 pomocnicza y=ux
-------------------
x²-ux²+u²x²=7
x²+ux²+u²x²=19 wylaczam x² i dziele stronami x²≠0
------------------
19(1-u+u²)=7(1+u+u²)
19u²-7u²-19u-7u+19-7=0
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
12u²-26u+12=0 dziele przez 2
6u²-13u+6=0
Δ=169-144=25 √Δ=5
u1=(13-5)/12=8/12=2/3
u2=(13+5)/12=18/12=3/2

podsatawiam u1=2/3 do x²(1-u+u²)=7
x²(1-2/3+4/9)=7
x²(9/9-6/9+4/9)=7
7/9x²=7→x²=9 ( x1=3 y1=2) ∨ (x2=-3 y2=-2)

podsatawiam u2=3/2 do x²(1-u+u²)=7
x²(1-3/2+9/4)=7
x²(4/4-6/4+9/4)=7
7/4x²=7
x²=4 (x3=-2 y3=-3) ∨ (x4=2 y4=3)

DODADKOWE WARUNKI
x + y=0
x - y=0
-----------
2x=0→x=0 niedopusczelne patrz wyzej

Ale jeszcze
x=y ∧ (x²-xy+y²) =7
x²-x²+x²=7
x²=7→ (x5=√7 y5=√7) ∨ (x6=-√7 y6=-√7)
-----------------------------------------------
x=-y ∧ (x²+xy+y²) =19
x²-x²+x²=19
x²=19
(x7=√19 y7=-√19) ∨ (x8=-√19 y8=√19)


Posprawdzaj i wypisz odpowiedz


pozdrawiam


Hans