Rozwiąż układ równań macierzy3x+y-z=22x-y+3z=9x+2y+z=8.... Question from @ewelekx

Roma

$\begin{cases} 3x+y-z=2\\2x-y+3z=9\\x+2y+z=8 \end{cases}$

Zapisujemy układ równań liniowych w postaci macierzowej:

$A = \left[\begin{array}{ccc}3&1&-1\\2&-1&3\\1&2&1\end{array}\right], \ \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\\9\\8\end{array}\right]$

Obliczamy wyznacznik macierzy A

$det A = \left|\begin{array}{ccc}3&1&-1\\2&-1&3\\1&2&1\end{array}\right| = (3 \cdot (-1) \cdot 1) + (1 \cdot 3 \cdot 1) + (-1 \cdot 2 \cdot 2)$

$- (3 \cdot 3 \cdot 2) - (1 \cdot 2 \cdot 1) - (-1\cdot (-1) \cdot 1) = - 3 + 3 - 4 - 18 - 2- 1 =$

$= -25 \neq 0$

det A = - 25 ≠ 0, więc jest to układ Cramera. Obliczamy wyznaczniki Ax, Ay, Az.

$det A_x = \left|\begin{array}{ccc}2&1&-1\\9&-1&3\\8&2&1\end{array}\right| = (2 \cdot (-1) \cdot 1) + (1 \cdot 3 \cdot 8) + (-1 \cdot 9 \cdot 2)$

$- (2 \cdot 3 \cdot 2) -(1 \cdot 9 \cdot 1) - (-1\cdot (-1) \cdot 8)=-2 + 24 -18 -12 -9-8$

$= -25$

$det A_y = \left|\begin{array}{ccc}3&2&-1\\2&9&3\\1&8&1\end{array}\right| = (3 \cdot 9 \cdot 1) + (2 \cdot 3 \cdot 1) + (-1 \cdot 2 \cdot 8)$

$- (3 \cdot 3 \cdot 8) -(2 \cdot 2 \cdot 1) - (-1\cdot 9 \cdot 1)=27 + 6 -16 -72 -4+9 =-50$

$det A_z = \left|\begin{array}{ccc}3&1&2\\2&-1&9\\1&2&8\end{array}\right| = (3 \cdot (-1) \cdot 8) + (1 \cdot 9 \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 2)$

$- (3 \cdot 9 \cdot 2) -(1 \cdot 2 \cdot 8) - (2 \cdot (-1) \cdot 1) =-24 + 9+ 8 -54 -16+2=$

$= -75$

Na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy rozwiązania:

$x = \frac{det A_x}{det A} = \frac{-25}{-25} = 1$

$y = \frac{det A_y}{det A} = \frac{-50}{-25} = 2$

$z = \frac{det A_z}{det A} = \frac{-75}{-25} = 3$

Oop. x = 1, y = 2, z = 3

0 votes Thanks 0

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social