Question

Rozwiąż równiania kwadratowe: Proszę o rozwiązanie krok po kroku.
a) (x-2)^2-4=0

b) x^2-9x+14=0

c) (2x+3)^2-9=0

d) 10x^2+3x+10=0

e) 25-9(x-1)^2=0

f) 3x^2+5x-2=0

g) (5x-3)(x-1)+2x(x-1)=0

h)(x+3)(2x+1)+(x+3)(4-5x)=0

i) (x-3)^2+(x+1)^2=x+14

Answer 1

A) (x-2)^2-4=0
x^2-4x+4-4=0
x^2-4x=0
x(x-4)=0
x=0 i x=4


b) x^2-9x+14=0
delta= 81-56=25
x1=9+5/2=7
x2=9-5/2=2


c) (2x+3)^2-9=0
4x^2+12x+9-9=0
4x^2+12x=0
4x(x+3)=0

4x=0 i x+3=0
x=0 i x=-3


d) 10x^2+3x+10=0
delta= 9-400=-391
brak pierwiastkow

e) 25-9(x-1)^2=0
25-9(x^2-2x+1)=0
25-9x^2+18x-9=0
-9x^2+18x+16=0
delta= 324+576=900
x1=-18+30/-18=12/-18=-2/3
x2=-18-30/-18=-48/-18=8/3

f) 3x^2+5x-2=0
delta=25+24=49
x1=-5+7/6=2/6=1/3
x2=-5-7/6=-12/6=-2


g) (5x-3)(x-1)+2x(x-1)=0
5x^2-5x-3x+1+2x^2-2x=0
7x^2-10x+1=0
delta=100-28=72
x1=10+6pierw z 2/14=5+3 pierw z 2/7
x2=10-6 pierw z 2/14=5-3 pierw z 2/7


h)(x+3)(2x+1)+(x+3)(4-5x)=0
2x^2+x+6x+3+4x-5x^2+12-15x=0
-3x^2-4x+15=0
delta=16+180=196
x1=4+14/-6=20/-6=-10/3
x2=4-14/-6=-10/-6=5/3

i) (x-3)^2+(x+1)^2=x+14
x^2-6x+9+x^2+2x+1-x-14=0
2x^2-5x-4=0
delta=25+32=57
x1=5+pierw z 57/4
x2=5- pierw z 57/4

Answer 2

W tych przykładach należy wykorzystać:
a) wzory skróconego mnożenia
(a +b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2*a*b + b^2

b)delta = b^2 - 4*a*c
x = (-b + pierwiastek z delty) / 2a
x = (-b + pierwiastek z delty) / 2a

a) (x-2)^2-4=0
x^2 - 4x + 4 - 4 = 0
x^2 - 4x = 0
x(x - 4) = 0

x = 0 lub x-4 = 0
x= 0 lub x=4

b) x^2-9x+14=0

a=1, b= -9, c= 14

delta =(-9)^2 - 4*1*14 = 81 - 56 = 25
pierwiastek z delty = 5
x= ( 9 - 5)/2 = 4/2=2
x= (9 + 5) /2 = 7

odp. x= 2 lub x=7

c) (2x+3)^2-9=0
(2x)2^ + 2*2x*3 + 3^2 - 9 =0
4x^2 + 12x + 9 -9 = 0
4x^2 + 12x = 0
4x(x +3) = 0
4x = 0 lub x+3 = 0
x= 0 lub x=-3

d) 10x^2+3x+10=0

a= 10, b = 3, c= 10
dlta = 9 - 400 = -391

delta < 0, czyli to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

e) 25-9(x-1)^2=0
25 - 9(x^2 - 2x + 1) = 0
25 - 9x^2 + 18x -9 = 0
-9x^2 + 18x + 16 = 0
delta=18^2 - 4*(-9)*16 = 324 + 576=900
pierwiastek z delty= 30
x1 = (-18 +30) / -18 = 12/-18= - 2/3
x2= (-18 -30) / -18 = -48/-18 = 8/3= 2całe i 2/3



f) 3x^2+5x-2=0
a=3, b = 5, c= -2
delta= 5^2 - 4*3*(-2) = 25 + 24 = 49
pierwiastek z delty = 7
x=(-5 +7) / 6= -12/6 = -2
x=(-5+7) / 6 = 2 / 6 =1/3

Odp. x=-2 lub x=1/3

g) (5x-3)(x-1)+2x(x-1)=0
5x*x +5x*(-1) -3*x -3*(-1) + 2x*x +2x*(-1) =0
5x^2 - 5x -3x +3 +2x^2 - 2x=0
7x^2 -10x +3 =0

a= 7, b=-10, c=3
delta= (-10)^2 - 4*7*3=100 - 84 = 16
pierwiastek z delty= 4
x1= (10 +4) / 14 = 14/14 =1
x2= (10 - 4) / 14 = 6/14 = 3/7
odp. x = 1 lub x=3/7

h)(x+3)(2x+1)+(x+3)(4-5x)=0
x*2x +x*1 +3*2x +3*1 +x*4 +x*(-5x) +3*4 +3*(-5x)=0
2x^2 +x +6x +3 +4x -5x^2 +12 - 15x = 0
-3x^2 - 4x + 15 = 0

a=-3, b=-4, c=15
delta=(-4)^2 - 4*(-3)*15 = 16 + 180 = 196
pierwiastek z delty = 14
x1 = (4 +14)/(-6) = 18/(-6) = -3
x2 = (4-14) / (-6) = -10/(-6) =5/3 = 1cała i 2/3

odp. x=-3 lub x=1cała i 2/3

i) (x-3)^2+(x+1)^2=x+14
x^2 - 6x +9 +x^2 +2x +1 -x - 14 = 0
2x^2 - 4x -4 = 0
2(x^2 -2x - 2) = 0 /:2
x^2 - 2x - 2 = =
a=1, b=-2, c=-2
delta= (-2)^2 - 4*1*(-2) = 4 +8 = 12
pierwiastek z delty = 2 pierwiastki z 3

x1 = (2 + 2 pierwiastki z 3) / 2 = 2(1+ pierwiastek z 3) / 2 =
= 1 + pierwiastek z 3

x2= (2 - 2 pierwiastki z 3) / 2 =2(1- pierwiastek z 3) / 2 =
= 1 - pierwiastek z 3