Rozwiąż równanie:log_2 (9^(x-1) + 7) = 2+ log_2 (3^ (x-1) + 1)log_x 7 + log_x^2 7= 6 (w tym podobno .... Question from @konahu

November 2018 1 55 Report

Rozwiąż równanie:
log_2 (9^(x-1) + 7) = 2+ log_2 (3^ (x-1) + 1)

log_x 7 + log_x^2 7= 6 (w tym podobno trzeba zastosować wzór na zmianę podstawy logarytmowania ale nie za bardzo wiem, o co chodzi- oprócz rozwiązania proszę o mały komentarz)

Zgłoś nadużycie! $log_2 \left(9^{x-1} +7\right)=2+log_2 \left(3^{x-1}+1\right)$

$log_2 \left(9^{x-1} +7\right)=2log_22+log_2 \left(3^{x-1}+1\right)$

$log_2 \left(9^{x-1} +7\right)=log_22^4+log_2 \left(3^{x-1}+1\right)$

$log_2 \left(9^{x-1} +7\right)=log_2 \left[4\left(3^{x-1}+1\right)\right]$

$9^{x-1} +7=4\left(3^{x-1}+1\right)$

$(3^{x-1})^2 +7=4\cdot 3^{x-1}+4$

$(3^{x-1})^2 +7-4\cdot 3^{x-1}-4=0$

$(3^{x-1})^2 -4\cdot 3^{x-1}+3=0$

Podstawiamy:
$3^{x-1}=t, t>0$

$t^2-4t+3=0$

$\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$

$\sqrt{\Delta}=\sqrt{4} =2$

$t_1=\frac{4-2}{2}= \frac{2}{2}=1$

$t_2=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$

$3^{x_1-1}=1$

$3^{x_1-1}=3^0$

$x_1-1=0$

$x_1=1$

$3^{x_2-1}=3$

$3^{x_2-1}=3^1$

$x_2-1=1$

$x_2=1+1$

$x_2=2$

Ponieważ nie wyznaczaliśmy dziedziny musimy sprawdzić, czy otrzymane rozwiązania są pierwiastkami równania.

$log_2 \left(9^{x-1} +7\right)=2+log_2 \left(3^{x-1}+1\right)$
-------------------------------------
$x_1=1$

$L=log_2 \left(9^{1-1} +7\right)=log_2 \left(9^0 +7\right)=log_2 \left(1+7\right)=log_28=3$

$P=2+log_2 \left(3^{1-1}+1\right)=2+log_2 \left(3^0+1\right)=2+log_2 \left(1+1\right)=\\2+log_2 2=1+1=3$

$L=P$
-------------------------------------
$x_2=2$

$L=log_2 \left(9^{2-1} +7\right)=log_2 \left(9^1 +7\right)=log_2 \left(9+7\right)=log_216=4$

$P=2+log_2 \left(3^{2-1}+1\right)=2+log_2 \left(3^1+1\right)=2+log_2 \left(3+1\right)=\\2+log_2 4=2+1=4$

$L=P$

Rozwiązaniem równania są x=1 lub x=2
======================================
$log_x 7 + log_{x^2}7= 6$

Dziedzina $x>0,x \neq 1$

Wzór:
$log_{a^n}b= \frac{1}{n}log_ab$

$log_x 7 + \frac{1}{2} log_x 7= 6$

$\frac{3}{2}log_x 7= 6$

$log_x 7^{\frac{3}{2}}= 6$

$x^6=7^{\frac{3}{2}}$

$x=\left(7^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{6}}$

$x=7^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{6}}$

$x=7^{\frac{1}{4}$

$x=\sqrt[4]{7}$