Question

Równania z wartością bezwzględną

x²+|x-2|+|x+2|-3=0

x=2 v x=-2

Nie chcę rozwiązania bo je znam, ale wytłumaczenia:

1 jak narysować wykres, a raczej dlaczego wygląda on w ten sposób(załącznik)

2 następnym krokiem jest że piszemy warunek, do niego równanie liczymy Δ x1 x2 itd.

( np. x<-2

x²+x+2-x-2-3=0 i dalej rozwiązujemy)

robimy podobnych kroków jeszcze 2, skąd mam wiedzieć jak je zapisać

Niedokładne wytłumaczenia będą zgłaszane jako spam.

Answer 1

HEj.

Zacznijmy od poczatku! Wiesz na pewno, że wartość bezwzględna z liczby dodatniej, to liczba dodatnia, a z liczby ujemnej, to też liczba dodatnia do niej przeciwna, czyli jakby zapisana ze zmienionym znakiem. No i jeszcze wartość bezwzględna z zera równa się zero!

Aby więc rozwiązać równanie:

x²+|x-2|+|x+2|-3=0

sprawdzamy dla jakich wartości x przyjmnie ona wartość zerową, w tym przykładzie wartość bezwzględna wystepuje dwa razy, będą więc dwa takie miejsca:

x-2=0

x=2

 

x+2=0

x=-2

 

To daje nam trzy przedziały:

(-∞,-2) (-2,2) (2,∞)

 

Już chyba widzisz skąd się nam biorą trzy przedziały. Równanie bedzie się zachowywać inaczej dla tych trzech różnych przedziałów,(dlatego tak właśnie wygląda ten wykres) i my musimy sprawdzić jak.Oczywiście jeśli wartość bezwzględna będzie występowac w równaniu wiecej razy, będzie tych przedziałów odpowiednio więcej.

 

Jak to wygląda w praktyce?

Sprawdzamy jaki znak będzie miała wartość wyrażenia z którego wyciągamy wartość bezwzględną i:

gdy ta wartość jest dodatnia, to poprostu opuszczamy znaki wartości bezwzględnej(wartość bezwzględna z liczby dodatniej to ta sama liczba)

gdy wartość jest ujemna, opuszczamy znaki wartości bezwzględnej, ale zmieniamy znaki(wartość bezwzględna z liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna)

 

Tak właśnie czynimy dla wszystkich trzech przedziałów:

 

1.x∈(-∞,-2)

x²+|x-2|+|x+2|-3=0

w pierwszej wartości będziemy mieli liczbę ujemną,w drugiej też(to możesz odczytać z Twojego wykresu) więc przepisujemy równanie opuszczając wartości bezwzględna, ale zmieniamy w nich znaki!

x²+x+2+x-2-3=0

no i otrzymujemy równanie kwadratowe, które należy wyliczyć:

x²+2x-3=0

Δ=16=>√Δ=4

x1=-3,x2=1

z tych dwóch pierwiastków równania tylko x1 należy do rozpatrywanego przedziału i on wejdzie do zbioru rozwiązań naszego równania.

Teraz liczymy następny przedział:

2.x∈(-2,2)

x²+|x-2|+|x+2|-3=0

tym razem w pierwsza wartość będzie dodatnia, a druga ujemna. W pierwszym przypadku poprostu opuszczamy znaki wartości bezwzględnej, a w drugim jeszcze zmieniamy znak:

x²+x-2+x-2-3=0

no i oczywiście znowu liczymy:

x²+2x+1=0

Δ=0

x=-1

liczba ta należy do rozpatrywanego przedziału, więc też wejdzie do zbioru rozwiązań!

Analogicznie postępujemy z trzecim przedziałem:

3.x∈(2,∞)

x²+|x-2|+|x+2|-3=0

tutaj obie wartości będą dodatnie wiec tylko opuszczamy znaki wartości bezwzględnej:

x²+x-2+x+2-3=0

x²+2x-3=0

jak widać otrzymaliśmy takie samo równanie jak w 1 przypadku, więc nie musimy dalej liczyć.

 

Zbiorem rozwiązań naszego równania będą więc dwie liczby -3 i -1.

 

Mam nadzieję, że po lekturze moich wypocin będziesz trochę madrzejszy, a jak bedziesz miał jeszcze jakies pytania to pisz na priv!

 

:)