Question

Reszta z dzielenia liczby 998 przez liczbę naturalną n jest równa 8, zaś reszta z dzielenia lczby 133 przez tą samą liczbę naturalną n jest równa 7. Znajdź liczbę n?

Answer 1

998 = kn+8, k - liczba całkowita niezerowa
Ponieważ liczba n mieści się k razy i zostaje jeszcze 8.

133=mn+7, m - liczba całkowita niezerowa

(Np. 9 = 2*4+1 - przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1)

Układ równań:
998 = kn+8
133 = mn+7

kn = 990
mn = 126

n = 990/k
mn = 126, to n = 126/m

m(990/k) = 126
(900m)/k = 126
m/k = 126/990

Skracamy nasz ułamek

m/k = 126/990 = 7/55

Zatem możemy przyjąć, że
m = 7, to n = 126/7 = 18
k = 55, to n = 990/55 = 18

Liczba n jest równa 18, natomiast reszta będzie tworzyła ułamki 8/18 i 7/18.

Sprawdzamy wielokrotności m i k:
m = 14, to n = 126/14 = 9
k = 110, to n = 990/110 = 9

Liczba n jest równa 9, natomiast reszta będzie tworzyła ułamki 8/9 i 7/9.

m = 21, to n = 126/21 = 6
k = 165, to n = 990/165 = 6

Liczba n jest równa 6, natomiast reszta będzie tworzyła ułamki 8/6 i 7/6. Nie jest to możliwe, ponieważ mianownik ułamka (n) musi być większy od licznika. (8 i 7). Dalsze sprawdzanie wielokrotności m i k nie ma sensu, ponieważ dzieląc przez większą liczbę, będziemy otrzymywali mniejsze wyniki.

Wobec tego szukana liczba n przyjmuje wartość 9 lub 18.

Answer 2

Ponieważ reszta wynosi 8 lub 7 to ta liczba n musi być większa bądź równa 9 dla naturalnych.
998-8=990
133-7=126, 126 i 990 musi byc podzielna przez ta liczbe wiec rozpisujemy :
126|2
63|3
21|3
7|7
1
Ponieważ 990 nie jest podzielne przez 7 które jest liczbą pierwszą, odpadają nam wyniki np. 14, 21, i inne podzielne przez 7.
zostaje nam 2,3,3 najmniejszy ich iloczyn ktory jest wiekszy bądź równy 9 to wlasnie 9, sprawdzamy, 998/9= 110+8reszty, 133/9=14+7reszty, a wiec liczba 9 pasuje :). Inna i jedyna pozostala liczba ktora pasuje jest 2*3*3=18, 998/18= 55+8reszty, i 133/18=7 +7 reszty.