Resuelve la ecuación diferencial dada determinando un factor integrante adecuado xdx + (x²y+4y)dy = .... Question from @Dahe527

October 2018 1 35 Report

Resuelve la ecuación diferencial dada determinando un factor integrante adecuado
xdx + (x²y+4y)dy = 0 ; y(4)= 0

CarlosMath Supongamos inicialmente el factor integrante sea $u=u(x,y)$ entonces tendríamos la EDO siguiente

   $xu\, dx+(x^2y+4y)u\,dy=0$

Lo que se busca es que esta EDO sea exacta, es decir

   $\dfrac{\partial}{\partial y}xu=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y+4y)u\\ \\ \\
xu_y=(2xu+x^2u_x+4u_x)y$

Si pensamos que la función $u=w(x)$ la cosa se complicaría, pero si en cambio ponemos que $u=z(y)$ tenemos entonces

$xz_y=2xyz\\ \\ \\
x\cdot \dfrac{dz}{dy}=2xyz\\ \\ \\
\dfrac{dz}{dy}=2yz\\ \\ \\
\dfrac{dz}{z}=2y\,dy\\ \\ \\
\ln z = y^2\\ \\ \\
\boxed{z=e^{y^2}}$

Este es el factor integrante adecuado. Entonces tenemos ahora que resolver la siguiente EDO exacta

   $xe^{y^2}\, dx+(x^2y+4y)e^{y^2}\,dy=0$

Recordemos esto: Si tenemos una función diferenciable $f=f(x,y)$ en cierta región de $\mathbb R^2$ entonces tenemos

$df=f_x\, dx+f_y\, dy$

Por ello supongamos que la EDO exacta proviene de $df = 0$ entonces vemos

$f_x=xe^{y^2}\to f(x,y)=\dfrac{x^2e^{y^2}}{2}+\phi(y)\\ \\ \\
f_y=x^2ye^{y^2}+4ye^{y^2}\\ \\ \\
\dfrac{\partial}{\partial y}\left[\dfrac{x^2e^{y^2}}{2}+\phi(y)\right]=x^2ye^{y^2}+4ye^{y^2}\\ \\ \\
x^2ye^{y^2}+\phi_y=x^2ye^{y^2}+4ye^{y^2}\\ \\ \\
\phi_y=4ye^{y^2}\\ \\ \\
\phi(y)=2e^{y^2}\\ \\ \\
\text{Por ende }\boxed{f(x,y)=\dfrac{x^2e^{y^2}}{2}+2e^{y^2}}$

Y así tenemos la solución de la EDO

   $\boxed{\boxed{\dfrac{x^2e^{y^2}}{2}+2e^{y^2}=C}}$

Donde C es una constante. Pero como nos dan que y(4) = 0, entonces $C=4$

$\boxed{\boxed{\dfrac{x^2e^{y^2}}{2}+2e^{y^2}=4}}$

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