Regina tiene 75 varillas de metal cuyas longitudes son 1cm, 2cm, 3cm,…, 74 cm y 75 cm. Ella escogió k de esas varillas de tal manera que se puede construir un triángulo con cuales quiera tres varillas escogidas, determine el mayor valor de k el cual esta situación es posible.
Respuesta:
SOLUCION:
Para la existencia de los triángulos se debe cumplir
Probemos los siguientes casos, para ello vamos a tomar como referencia el lado de mayor
longitud:
Cuando el triángulo mide 1 cm; 2 cm y 3 cm.
Tomando las longitudes: 2 cm; 3 cm y 4 cm.
Tomando las longitudes: 3 cm; 4 cm; 5 cm y 6 cm.
4 – 3 < 6 < 4 + 3
1 < 6 < 5 Sí cumple.
Por tanto, el triángulo de lados 3; 4 y 6 sí existe; los otros triángulos también existen.
Tomando las longitudes: 4 cm; 5 cm; 6 cm; 7 cm y 8 cm.
5 – 4 < 8 < 5 + 4
1 < 8 < 9 Sí cumple.
Por tanto, el triángulo de lados 4; 5 y 8 sí existe; los otros triángulos también existen.
Tomando las longitudes: 5 cm; 6 cm; 7 cm; 8 cm; 9 cm y 10 cm.
6 – 5 < 10 < 6 + 5
1 < 10 < 11 Sí cumple.
Por tanto, el triángulo de lados 5; 6 y 10 sí existe; los otros triángulos también existen.
2 – 1 < 3 < 1 + 2
1 < 3 < 3 No cumple.
Por tanto, el triángulo de lados 1; 2 y 3 no existe.
3 – 2 < 4 < 3 + 2
1 < 4 < 5 Sí cumple.
Por tanto, el triángulo de lados 2; 3 y 4 sí existe.
a – b < c < a + b, a > b
Cualquier lado de un triángulo está comprendido entre
la suma y diferencia de los otros dos lados.
9
Y así sucesivamente …
Tomando las longitudes: x cm; x+1 cm; x+2 cm; x+3 cm; … 75 cm.
Siguiendo la secuencia, la suma de las dos primeras longitudes debe ser mayor que la
mayor longitud:
x + x + 1 > 75
2x > 74
x > 37
por tanto, x = 38
Se deben tomar las siguientes longitudes: 38 cm; 39 cm; 40 cm; 41 cm; … ; 75 cm.
N° de varillas escogidas = k (N° de términos de una progresión aritmética).
k = Último término – Anterior al primero
k = 75 – (38 – 1)
k = 75 – 37
k = 38
RESPUESTA: El mayor valor de k es 38.
Explicación paso a paso: