Question

Średnia odległość Ziemi od Księżyca wynosi d= 3840000 km. Masa Ziemi jest 81 razy większa od masy Księżyca. W jakiej odległości od Księżyca znajduje się punkt, w którym ciążenie krążenia Ziemi i krążenie księżycowe jest jednakowe?

Answer 1

Oznaczenia przyjęte w zadaniu
M - masa Ziemi
m - masa księżyca
m₀ - masa ciała
Odległość 384 tys km jest równa około 60 promieni Ziemi
m = 1/81 M
R - promień Ziemi
Szuk: r
Rozw.:

GMm₀/r² = Gmm₀/(60R - r)²
dzielimy obustronnie przez G i m₀
M/r² = m/(60R - r)²
M/r² = (1/81) M /(60R - r)²
ostatecznie
r² = 81 (60R - r)²
r² = 291600 R² - 9720Rr +81r²
81r² - r² - 9720Rr + 291600 R² = 0
80r² - 9720Rr + 291600 R² = 0
Jest to równanie drugiego stopnia więc żeby je policzyć musimy wyznaczyć Δ i pierwiastki r₁ i r₂ (patrz matematyka - wzory!)
czyli
Δ = (9720R)² - 4 × 80 × 291600 R² = 1166400R²
√Δ = 1080R
r₁ = (9720R - 1080R) / 160 = 54 R
r₂ = (9720R + 1080R) / 160 = 67,5 R
r₂ nie spełnia warunków zadania, więc odpowiedzią do zadania jest r₁
Odp: w odległości 54 R od środka Ziemi pomiędzy Ziemią a Księżycem znajduje się punkt, w którym ciążenie krążenia Ziemi i krążenie księżycowe jest jednakowe (czyli punkt w którym siły grawitacyjne pochodzące od Ziemi i Księżyca znoszą się wzajemnie).