Quiz MathSelesaikan persamaan diferensial berikut.... Question from @ShanedizzySukardi

December 2019 1 95 Report

Quiz Math

Selesaikan persamaan diferensial berikut.
$(2x^2+y)~\text{d}x + (x^2y - x)~\text{d}y = 0$

Adjie564 Materi : Persamaan Diferensial (Faktor Integrasi)

$(2x^2+y)\,dx+(x^2y-x)\,dy=0$

Sepertinya ini lebih cocok dengan bentuk persamaan diferensial eksak.

Untuk menyelesaikan ini, pertama cek dulu persamaannya apakah eksak atau bukan.

Misalkan :

M = 2x² + y

N = x²y - x

$\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=1\\\frac{\partial{N}}{\partial{x}}=2xy-1$

Karena, hasil turunan parsialnya tidak memenuhi hubungan :

$\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=\frac{\partial{N}}{\partial{x}}$

maka ini bukan PD eksak sehingga kita perlu cara lain untuk menyelesaikannya yaitu dengan faktor integrasi.

Faktor integrasi PD ini $\frac{1}{N}\left(\frac{\partial{M}}{\partial{y}}-\frac{\partial{N}}{\partial{x}}\right)=\frac{1-(2xy-1)}{x^2y-x}=\frac{-2(xy-1)}{x(xy-1)}=\frac{-2}{x}$ bergantung pada variabel x saja, maka kita ambil saja P(x) = -2/x, sehingga :

F(x) = ${e}^{\int{P(x)\,dx}}={e}^{-\int{\frac{2}{x}\,dx}}={e}^{\ln{x^{-2}}}=x^{-2}$

Kalikan ini ke PD semula, didapatkan :

$(2x^2+y)\left(\frac{1}{x^2}\right)\,dx+(x^2y-x)\left(\frac{1}{x^2}\right)\,dy=0\\\left(2+\frac{y}{x^2}\right)\,dx+\left(y-\frac{1}{x}\right)\,dy=0$

Cek sekali lagi, apakah sudah eksak.
Misalkan :

M = 2 + y/x²

N = y - 1/x

$\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=\frac{1}{x^2}\\\frac{\partial{N}}{\partial{x}}=\frac{1}{x^2}$

Karena hasilnya sudah sama, maka kita bisa lanjutkan ke tahap penyelesaian PD eksak.

Ambil $\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=M$ , maka $u=\int{M\,dx}+k(y)$ sehingga :

$u=\int{\left(2+\frac{y}{x^2}\right)\,dx}+k(y)\\u=2x-\frac{y}{x}+k(y)$

Turunkan u terhadap y secara parsial, diperoleh :

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=N\\-\frac{1}{x}+\frac{dk}{dy}=y-\frac{1}{x}\\\frac{dk}{dy}=y\\\int{\frac{dk}{dy}}=\int{y}\\k(y)=\frac{1}{2}y^2+c$

Substitusikan k(y) kepada u, diperoleh :

$u=2x-\frac{y}{x}+\frac{1}{2}y^2+c\\2x-\frac{y}{x}+\frac{1}{2}y^2=k\,(kalikan\,2x)\\4x^2+xy^2-2kx-2y=0$

$<b>Jadi, solusi yang tepat dari persamaan diferensial tersebut adalah 4x² + xy² - 2kx - 2y = 0</b>$

Semoga membantu.

1 votes Thanks 0