Question

Punkty M i N dzielą ramiona trapezu w stosunku 2:1 (licząc od dłuższej podstawy). Wyraź długość odcinka MN za pomocą długości podstaw trapezu a i b (a>b)

Answer 1

Oznaczmy wierzchołki trapezu jako ABCD, gdzie AB jest dłuższą podstawą, a CD krótszą
Załóżmy, że punkt M leży na ramieniu AD, a punkt N - na ramieniu BC

Poprowadźmy z punktu D odcinek DE równoległy do ramienia  BC,
tworząc równoległobok EBCD

Punkt przecięcia odcinków MN i DE oznaczmy przez  K

Odcinki DK i CN są tej samej długości  (mamy do czynienia z równoległobokami)


Z podanych proporcji wynika, że

1) odcinek AM jest 2 razy dłuższy niż MD, czyli
MD stanowi    odcinka  AD

2) odcinek BN jest 2 razy dłuższy niż NC, czyli 
NC stanowi    odcinka  BC

3) w konsekwencji 
odcinek  KD stanowi    odcinka  ED

Teraz skupimy uwagę na trójkątach  MKD  i AED
Są one podobne w skali   
(wynika to z ustaleń  1)  i  3) i z faktu, że mają wspólny kąt przy wierzchołku D,
czyli korzystamy z cechy podobieństwa bok-kąt-bok )

Jednocześnie jasne jest, że
długość odcinka AE jest równa  
dlatego (ze skali podobieństwa) 
długość odcinka MK  wynosi 

Ponadto, oczywiście, odcinek KN jest długości  ,
dlatego sumując długości odcinków MK i KN otrzymujemy szukaną długość odcinka  MN:


czyli