Question

Punkty A (-4,2) oraz B (2,6) są symetryczne względem prostej k. Wyznacz równanie prostej k.

Answer 1

A(-4,2)
B(2,6)
k - symetryczna

jeśli te punkty są symetryczne do prostej k to prosta k jest prostopadła do prostej l (przechodzi przez punkty A i B) dokładnie w punkcie który jest środkiem odcinka AB

wyznaczamy prostą l
y=ax+b

2=-4a+b
6=2a+b

2=-4a+b
6=2a+b /*2

2=-4a+b
12=4a+2b
3b=14
b=14/3

6=2a+b
6=2a+14/3
2a=6-14/3=6-4i2/3=1i1/3=4/3
a=2/3

prosta l=2/3x+14/3
punkt C będzie środkiem odcinka AB
liczymy współrzędne C

xC=(xA+xB)/2=(-4+2)/2=-1
yC=(yA+yB)/2=(2+6)/2=4
C(-1,4)

prosta k jest prostopadła do l i przechodzi przez punkt C

jeśli jest prostopadła to
Ak*Al=-1 - A - jest to współczynnik kierunkowy prostej
Ak*2/3=-1 /* 3/2
Ak=-3/2

prosta k ma równanie y=ax+b
a=-3/2

przechodzi przez punkt C
4=a(-1)+b
b+(-1)(-3/2)=4
b+3/2=4
b=4-3/2=8/2-3/2=5/2

prosta k ma równanie
y=-3/2a+5/2