Question

Punkt E jest punktem przeciecia sie przekatnych ac i bd trapezu abcd. Udowodnij że trójkąty ADE i BCE mają równe pola.

Answer 1

Zauważmy, że trójkąty ABC i ABD mają równe pola, bo mają wspólną podstawę AB i równe wysokości padające na tę podstawę (wysokość z wierzchołka C dla trójkąta ABC i wysokość z wierzchołka D dla trójkąta ABD są równe, bo są wysokościami trapezu).

Stąd

[tex]P_{\Delta ABC}=P_{\Delta ABD}[/tex]

Zauważmy ponadto, że

[tex]P_{\Delta ADE}=P_{\Delta ABD}-P_{\Delta ABE}\\P_{\Delta BCE}=P_{\Delta ABC}-P_{\Delta ABE}=P_{\Delta ABD}-P_{\Delta ABE}[/tex]

Zatem

[tex]P_{\Delta ADE}=P_{\Delta BCE}[/tex]

To kończy dowód.