Question

Przekątne prostokąta mają długość 20 cm i przecinają się pod kątem 60 stopni.Oblicz obwód tego prostokąta.

Answer 1

Niech ABCD będzie danym prostokątem, a punkt O punktem
przecięcia się jego przekątnych.
Mamy AB = BC = 20 cm
Kąt AOD ma 60 stopni, zatem pozostałe dwa kąty trójkąta AOD
mają po 60 stopni .Dlatego kat BDC ma 30 stopni (90 -60 =30).
BC/BD = sin 30
BC = BD* sin 30 = 20 * 0.5 = 10
BC = 10 cm
Oznaczmy sobie CD = a, BC = b oraz BD = c
Mamy c² = a² + b²
20² = a² + 10²
400 = a² + 100
a² = 400 - 100 = 300 = 100*3
a = √(100*3) = 10*√3
a = 10*√3 cm
Obwód = 2a + 2b = 2*10*√3 + 2*10 = 20√3 + 20 = 20*(√3 + 1)
Odp. Obwód tego prostokąta ma 20*(√3 + 1) cm.

Answer 2

PRZYJMIJMY ZE KRUTSZY BOK NAZWIEMY o A DLUZSZY BOK a
SKORO PRZEKONTNE PRZECINAJA SIE POD KATEM 60° OZNACZA TO ZE STYCZNE TWORZA DWA MNIEJSZE TRUJKATY ROWNORAMIENNE O PODSTAWIE W KRUTSZYM BOKU PROSTOKATA a A KAZDY KAT W TYM TROJKACIE ROWNORAMIENNYM MA MIARE 60°
PRZYJZYJMY SIE TERAZ DWOM WIEKSZYM TRUJKATOM PROSTOKATNYM JAKIE TWOZY PROSTOKAT PRZECIETY JEDNA Z PRZEKATNYCH MIARA WSZYSTKICH KONTOW W TROJKACIE WYNOSI 180° TAK WIEC MAMY KAT PROSTY (90°)LEZACY NAPRZECIWPROSTOKATNEJ (JEDNEJ Z PRZEKATNYCH O DLUGOSCI 20CM)
TERAZ PATRZYMY NA NASZ RYSUNEK I WIDZIMY ZE KONT PRZY DLUZSZEJ PRZYPROSTOKATNEJ o MUSI WYNOSIC (30°) BY PO UZUPELNIENIU Z MIARA KATA ZNAJDUJACEGO SIE U PODSTAWY( NAZWANEJ a 60°) TROJKATA ROWNORAMIENNEGO TWOZYLY LACZNIE 90° W TEN OTO SPOSOB MAMY DWA KONTY NASZEGO DUZEGO TROJKATA PROSTOKATNEGO : "30° ,90° I TERAZ LOGICZNIE RZECZ BIORAC TRZECI KAT MUSI MIEC MIARE 60° RYSUJEMY OBOK NASZ TROJKAT PROSTOKATNY I KOZYSTAJAC Z ZASAD TRYGONOMETRI WYLICZAMY :
SIN30°=o:20 MNOZYMY OBUSTRONNIE PRZEZ 20
SIN30°x20=o
o=10
COS30°=a:20 MNOZYMY OBUSTRONNIE PRZEZ 20
COS30°x20=a
a=17,32
TERAZ WYLICZAMY OBWOD:
2x10+2x17,32= 54,64