Question

Pręt o długości l i masie M leży na gładkiej powierzchni. W koniec pręta uderza prostopadle
do niego z prędkością v punkt o masie m. Pręt jest umocowany tak, że może się obracać
wokół osi prostopadłej do niego przechodzącej przez jego drugi koniec. a) zderzenie jest
doskonale sprężyste. Znaleźć prędkość punktu i prędkość kątową pręta po zderzeniu. b)
zderzenie jest niesprężyste. Znaleźć prędkość kątową układu po zderzeniu.

proszę tylko o prawidłowe rozwiązanie

Answer 1

Oznaczmy moment bezwładności pręta o długości l i masie M względem osi przechodzącej przez jego środek jako Io

Io = (1/12)*M*l*l

a) zderzenie sprężyste

Pęd przed zderzeniem w kierunku prędkości punktu

P1 = m*V - (m - masa punktu ; V prędkość liniowa punktu przed zderzeniam)

Pęd po zderzeniu w kierunku prędkości punktu

P2 = m*V1 + Io*w1/r - (V1prędkość liniowa punktu po zderzeniu ; w1 - prędkość kątowa pręta po zderzeniu ; r promień obrotu r = l/2)

Energa kinetyczna przed zderzeniem

E1 = m*V*V/2 - (energia punktu przed zderzeniem)

E2 = m*V1*V1/2 + Io*w1*w1/2

 

P1 = P2

E1 = E2

 

m*V = m*V1 + Io*w1/r

m*V*V/2 = m*V1*V1/2 + Io*w1*w1/2

 

m*(V - V1) = Io*w1/r

m*(V - V1)*(V + V1) = Io*w1*w1

dzielimy stronami

 

V + V1 = w1*r

V - V1 = Io*w1/(r*m)

Po dodaniu stronami

w1 = 2*V*m*r/(Io + m*r*r)

V1 = V*(m*r*r - Io)/(m*r*r + Io)

 

a) zderzenie niesprężyste

Pęd przed zderzeniem w kierunku prędkości punktu

P1 = m*V - (m - masa punktu ; V prędkość liniowa punktu przed zderzeniam)

Pęd po zderzeniu w kierunku prędkości punktu

P2 = m*(Io+I1)/r - (w1 - prędkość kątowa pręta z punktem po zderzeniu ; r promień obrotu r = l/2 ; I1 moment bezwładności punktu względem osi obrotu)

 

P1 = P2

m*w1*(Io+I1)/r = m*V

 

w1 = V*r/(Io+I1)

 

Po wstawieniu

r=l/2

Io = (1/12)*M*l*l

Otrzymamy wyni ostateczny - proponuję dla wprawy zrobić to samemu (jeżeli będą problemy służę pomocą)