Proszę o wyjaśnienie jak rozwiązać równania z temu własności wartości bezwzględnej: |x-3|+|x^{2}-9|=.... Question from @Avenixx

December 2018 1 23 Report

Proszę o wyjaśnienie jak rozwiązać równania z temu własności wartości bezwzględnej:

|x-3|+|x^{2}-9|=0
|x+2|=-1|(x-2)(x+2)|

heheheh12 Musisz wyznaczyć przedziały i dla nich rozwiązać równanie.

1.
$a) \ |x-3|=3-x, \ |x^2-9|=x^2-9 \ dla \ x \in (-\infty;-3 \rangle \\
b) \ |x-3|=3-x, \ |x^2-9|=9-x^2 \ dla \ x \in (-3;3) \\ c) \
|x-3|=x-3, \ |x^2-9|=x^2-9 \ dla \ x \in \langle 3; \infty)$

a)
$x \in (-\infty;-3 \rangle \\ \\
3-x+x^2-9=0 \\
x^2-x-6=0 \\
x^2-3x+2x-6=0 \\
x(x-3)+2(x-3)=0 \\
(x+2)(x-3)=0 \\
x+2=0 \ \lor \ x-3=0 \\
x=-2 \notin (-\infty;-3 \rangle \ \lor \ x=3 \notin (-\infty;-3 \rangle \\
x \in \emptyset$

b)
$x \in (-3;3) \\ \\ 
3-x+9-x^2=0 \\
-x^2-x+12=0 \\
-x^2-4x+3x+12=0 \\
-x(x+4)+3(x+4)=0 \\
(-x+3)(x+4)=0 \\
-x+3=0 \ \lor \ x+4=0 \\
x=3 \notin (-3;3) \ \lor \ x=-4 \notin (-3;3)$

c)
$x \in \langle 3; \infty) \\ \\ 
x-3+x^2-9=0 \\
x^2+x-12=0 \\
-x^2-x+12=0 \\
x=3 \in \langle 3; \infty) \ \lor x=-4 \notin \langle 3; \infty) \\ x=3$

Sumujesz wszystkie rozwiązania:
$x \in \emptyset \ \lor \ x \in \emptyset \ \lor \ x=3 \\
\boxed{x=3}$

2.
$|x+2|=-1|(x-2)(x+2)| \\
|x+2|+|(x-2)(x+2)|=0 \\ |x+2|+|x^2-4|=0$

$a) \ |x+2|=-x-2, \ |x^2-4|=x^2-4 \ dla x \in (-\infty;-2
\rangle \\ b) \ |x+2|=x+2, \ |x^2-4|=4-x^2 \ dla x \in (-2;2) \\ c) \ 
|x+2|=x+2, \ |x^2-4|=x^2-4 \ dla x \in \langle 2; \infty)

$

a)
$x \in (-\infty; -2 \rangle \\ \\ 
-x-2+x^2-4=0 \\
x^2-x-6=0 \\
x^2-3x+2x-6=0 \\
x(x-3)+2(x-3)=0 \\
(x+2)(x-3)=0 \\
x+2=0 \ \lor \ x-3=0 \\
x=-2 \in (-\infty; -2 \rangle \ \lor \ x=3 \notin (-\infty; -2 \rangle \\ x=-2$

b)
$x \in (-2;2) \\ \\ x+2+4-x^2=0 \\ -x^2+x+6 = 0 \\ x^2-x-6=0 \\ x=-2 \notin (-2;2) \ \lor \ x=3 \notin (-2;2) \\ x \in \emptyset$

c)
$x \in \langle 2; \infty) \\ \\ x+2+x^2-4=0 \\ x^2+x-2=0 \\ 
x^2+2x-x-2=0 \\ x(x+2)-1(x+2)=0 \\ (x-1)(x+2)=0 \\ x-1=0 \ \lor \ x+2=0 
\\ x=1 \notin \langle 2; \infty) \ \lor \ x=-2 \notin \langle 2; \infty)
 \\ x \in \emptyset$

Sumujesz rozwiązania:
$x=-2 \ \lor \ x \in \emptyset \ \lor \ x \in \emptyset \\
\boxed{x=-2}$