Question

Proszę o szybką pomoc !!!

Answer 1

Działania na pierwiastkach

Oblicz:

1)

[tex]\boxed{\dfrac25\sqrt3+2\dfrac35\sqrt3}[/tex]

W przypadku dodawania lub odejmowania pierwiastków, liczby podpierwiastkowe muszą być takie same. W tym wypadku, pierwiastek kwadratowy z 3 jest wspólnym czynnikiem składników tej sumy, więc:

[tex]\dfrac35\sqrt3+2\dfrac35\sqrt3=\sqrt3\left(\dfrac35+2\dfrac35\right)=\sqrt3\cdot 2\dfrac65=\boxed{\bold{3\dfrac15\sqrt3}}[/tex]

2)

[tex]\boxed{\sqrt2-2\dfrac14\sqrt2}[/tex]

Postępujemy dokładnie jak w poprzednim przykładzie:

[tex]\sqrt2-2\dfrac14\sqrt2=\sqrt2\left(1-2\dfrac14\right)=\sqrt2\cdot \left(-1\dfrac14\right)=\boxed{\bold{-1\dfrac14\sqrt2}}[/tex]

3)

[tex]\boxed{5\sqrt{10}-\dfrac{\sqrt{10}}4}[/tex]

Przed wykonaniem odejmowania, liczby należy sprowadzić do wspólnego mianownika:

[tex]5\sqrt{10}-\dfrac{\sqrt{10}}4=\dfrac{20\sqrt{10}}{4}-\dfrac{\sqrt{10}}4=\boxed{\bold{\dfrac{19\sqrt{10}}4}}[/tex]

4)

[tex]\boxed{\dfrac{\sqrt3}4+\dfrac{\sqrt3}2}[/tex]

Ponownie sprowadzamy do wspólnego mianownika:

[tex]\dfrac{\sqrt3}4+\dfrac{\sqrt3}2=\dfrac{\sqrt3}4+\dfrac{2\sqrt3}{4}=\boxed{\bold{\dfrac{3\sqrt3}4}}[/tex]

5)

[tex]\boxed{-8\sqrt2\cdot\dfrac14}[/tex]

Wykonujemy iloczyn. Ułamek należy pomnożyć przez liczbę stojącą przed pierwiastkiem:

[tex]-8\sqrt2\cdot \dfrac14=\dfrac1{4\!\!\!\!\diagup_1}\cdot (-8\!\!\!\!\diagup^2\sqrt2)=\boxed{\bold{-2\sqrt2}}[/tex]

6)

[tex]\boxed{8\sqrt5\cdot (-0,5)}[/tex]

Podobnie jak w poprzednim przykładzie:

[tex]8\sqrt5\cdot (-0,5)=\left(-\dfrac1{2\!\!\!\!\diagup_1}\right)\cdot 8\!\!\!\!\diagup^4\sqrt5=\boxed{\bold{-4\sqrt5}}[/tex]

7)

[tex]\boxed{0,3\sqrt5\cdot \sqrt5}[/tex]

Jeżeli w czynnikach iloczynu występują pierwiastki, to mnożymy liczby podpierwiastkowe i zapisujemy je pod pierwiastkiem:

[tex]0,3\sqrt5\cdot \sqrt5=0,3\sqrt{5\cdot 5}=0,3\sqrt{25}=0,3\cdot 5=\boxed{\bold{1,5}}[/tex]

8)

[tex]\boxed{3,6\sqrt5\cdot 2\sqrt5}[/tex]

W tym przypadku mnożymy liczby stojące przed pierwiastkiem, a liczby podpierwiastkowe mnożymy i zapisujemy pod znakiem pierwiastka:

[tex]3,6\sqrt5\cdot 2\sqrt5=2\cdot 3,6\cdot \sqrt{5\cdot 5}=7,2\sqrt{25}=7,2\cdot 5=\boxed{\bold{36}}[/tex]

9)

[tex]\boxed{\dfrac34\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}9}[/tex]

Podobnie jak w poprzednim przykładzie:

[tex]\dfrac34\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}9=\dfrac{3\!\!\!\!\diagup^1}4\cdot\dfrac1{9\!\!\!\!\diagup_3}\cdot\sqrt{2\cdot 2}=\dfrac1{12}\cdot \sqrt4=\dfrac1{12\!\!\!\!\!\diagup_6}\cdot 2\!\!\!\!\diagup^1=\boxed{\bold{\dfrac16}}[/tex]

10)

[tex]\boxed{\dfrac{10\sqrt3-25\sqrt6}5}[/tex]

Z licznika wyciągamy wspólny czynnik i skracamy go z mianownikiem:

[tex]\dfrac{10\sqrt3-25\sqrt6}5=\dfrac{5\!\!\!\!\diagup(2\sqrt3-5\sqrt6)}{5\!\!\!\!\diagup}=\boxed{\bold{2\sqrt3-5\sqrt6}}[/tex]

11)

[tex]\boxed{(3\sqrt2)^2+(\sqrt6)^2}[/tex]

Jeżeli podnosimy do potęgi wyrażenie z pierwiastkiem, to należy spotęgować zarówno liczbę stojącą przed pierwiastkiem jak i liczbę podpierwiastkową:

[tex](3\sqrt2)^2+(\sqrt6)^2=3^2\cdot \sqrt{2^2}+\sqrt{6^2}=9\cdot \sqrt4+\sqrt{36}=9\cdot 2+6=18+6=\boxed{\bold{24}}[/tex]

12)

[tex]\boxed{\left(\frac{2\sqrt5}{5\sqrt2}\right)^2}[/tex]

Jeżeli potęgujemy ułamek, to potęgujemy jego licznik i mianownik. Postępujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie:

[tex]\left(\dfrac{2\sqrt5}{5\sqrt2}\right)^2=\dfrac{(2\sqrt5)^2}{(5\sqrt2)^2}=\dfrac{2^2\cdot\sqrt{5^2}}{5^2\cdot \sqrt{2^2}}=\dfrac{4\cdot\sqrt{25}}{25\cdot \sqrt{4}}=\dfrac{4\!\!\!\!\diagup^2\cdot 5\!\!\!\!\diagup^1}{25\!\!\!\!\!\diagup_5\cdot 2\!\!\!\!\diagup_1}=\boxed{\bold{\dfrac{2}5}}[/tex]