Proszę o rozwiązanie zadania 5. 13- rozwiąż równania.... Question from @stokrotka833

stokrotka833 @stokrotka833

September 2018 1 35 Report

Proszę o rozwiązanie zadania 5. 13- rozwiąż równania.

Roma

Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych należy pamiętać, że wyrażenie logarytmowane i podstawa logarytmów muszą być dodatnie, oraz podstawa logarytmu dodatkowo nie może być równa 1.

Zad. 5.13.1

$log_3 (3^x - 8) = 2 - x$

Dziedzina:

$3^x - 8 > 0$

$3^x > 8$

Możemy w przybliżeniu przyjąć, że x > 1,89

$log_3 (3^x - 8) = 2 - x$

$log_3 (3^x - 8) = log_3 3^{2 - x}$

$3^x - 8 = 3^{2 - x}$

$3^x - 8 = \frac{3^2}{3^x}$

$Podstawiamy \ 3^x = t, \ t > 8 \ (patrz \ dziedzina)$

$t - 8 = \frac{9}{t} \ / \cdot t$

$t^2 - 8t = 9$

$t^2 - 8t - 9 = 0$

$\Delta = 64 + 36 = 100; \ \sqrt{\Delta} = 10$

$t_1 = \frac{8-10}{2} = \frac{-2}{2} = - 1 < 8 \ odrzucamy$

$t_2 = \frac{8+10}{2} = \frac{18}{2} = 9 > 8$

zatem t = 9

$3^x =9$

$3^x =3^2$

$x = 2 \in D$

Odp. x = 2

Zad. 5.13.2

$log_7 (6 + 7^{-x}) = x + 1$

Dziedzina:

$6 + 7^{-x} > 0$

$\frac{1}{7^x} > -6$

$7^x > -\frac{1}{6}$

zatem

$7^x > 0$

$x \in R$

$log_7 (6 + 7^{-x}) = x + 1$

$log_7 (6 + 7^{-x}) = log_7 7^{x + 1}$

$6 + 7^{-x} = 7^{x + 1}$

$6 + \frac{1}{7^x} = 7^x \cdot 7^1$

$Podstawiamy \ 7^x = t, \ t > 0 \ (patrz \ dziedzina)$

$6 + \frac{1}{t} =7t \ / \cdot t$

$6t +1 = 7t^2$

$-7t^2+6t+1 = 0$

$\Delta = 36+28 = 64; \ \sqrt{\Delta} = 8$

$t_1 = \frac{-6-8}{-14} = \frac{-14}{-14} = 1 > 0$

$t_2 = \frac{-6+8}{-14} = \frac{2}{-14} = -\frac{1}{7} < 0 \ odrzucamy$

zatem t = 1

$7^x = 1$

$7^x = 7^0$

$x = 0 \in D$

Odp. x = 0

Zad. 5.13.3

$log \ 2 + log(4^{x-2}+9) = 1 + log(2^{x-2}+1)$

Dziedzina:

$4^{x-2}+9 > 0 \ i \ 2^{x-2}+1>0$

$4^{x-2} > -9 \ i \ 2^{x-2}>- 1$

$\frac{4^x}{4^2} > -9 \ i \ \frac{2^x}{2^2}>- 1$

$\frac{4^x}{16} > -9 \ i \ \frac{2^x}{4}>- 1$

$4^x> -144 \ i \ 2^x>- 4$

Zatem

$2^x > 0$

$log \ 2 + log(4^{x-2}+9) = 1 + log(2^{x-2}+1)$

$log \ 2 + log(4^{x-2}+9) = log \ 10 + log(2^{x-2}+1)$

$log[ 2 \cdot (4^{x-2}+9)] = log[10 \cdot (2^{x-2}+1)]$

$2 \cdot (4^{x-2}+9) = 10 \cdot (2^{x-2}+1)$

$2 \cdot ( \frac{4^x}{4^2}+9) = 10 \cdot (\frac{2^x}{2^2}+1)$

$2 \cdot ( \frac{(2^2)^x}{16}+9) = 10 \cdot (\frac{2^x}{4}+1)$

$\frac{(2^x)^2}{8}+18 = \frac{5 \cdot 2^x}{2}+10 \ / \cdot 8$

$(2^x)^2+144 = 20 \cdot 2^x+80$

$Podstawiamy \ 2^x = t, \ t > 0 \ (patrz \ dziedzina)$

$t^2+144 = 20t +80$

$t^2+144 - 20t - 80 = 0$

$t^2- 20t + 64 = 0$

$\Delta = 400 - 256 = 144; \ \sqrt{\Delta} = 12$

$t_1 = \frac{20-12}{2} = \frac{8}{2} = 4 > 0$

$t_2 = \frac{20+12}{2} = \frac{32}{2} = 16 > 0$

Zatem

t₁ = 4 lub t₂ = 16, czyli

$2^{x_1} = t_1$

$2^{x_1} = 4$

$2^{x_1} = 2^2$

$x_1 = 2$

$2^{x_2} = t_2$

$2^{x_2} = 16$

$2^{x_2} = 2^4$

$x_2 = 4$

Odp. x = 2 i x = 4

Zad. 5.13.4

$log_2 (9^{x-1} +7) = 2 + log_2 (3^{x-1}+1)$

Dziedzina:

$9^{x-1} +7 > 0 \ i \ 3^{x-1} +1 > 0$

$9^{x-1}> -7 \ i \ 3^{x-1} > -1$

$\frac{9^x}{9^1}> -7 \ i \ \frac{3^x}{3^1}> -1$

$9^x> -63 \ i \ 3^x > -3$

zatem

$3^x >0$

$log_2 (9^{x-1} +7) = 2 + log_2 (3^{x-1}+1)$

$log_2 (9^{x-1} +7) = log_2 4 + log_2 (3^{x-1}+1)$

$log_2 (9^{x-1} +7) = log_2[4 \cdot (3^{x-1}+1)]$

$9^{x-1} +7= 4 \cdot (3^{x-1}+1)$

$\frac{9^x}{9^1} +7= 4 \cdot (\frac{3^x}{3^1}+1)$

$\frac{(3^2)^x}{9} +7= \frac{4 \cdot 3^x}{3}+4 \ / \cdot 9$

$(3^x)^2 +63= 12\cdot 3^x +36$

$Podstawiamy \ 3^x = t, \ t > 0 \ (patrz \ dziedzina)$

$t^2 +63= 12t+36$

$t^2 +63- 12t-36 =0$

$t^2 - 12t+27=0$

$\Delta = 144 - 108 = 36; \ \sqrt{\Delta} = 6$

$t_1 = \frac{12-6}{2} = \frac{6}{2} = 3 > 0$

$t_2 = \frac{12+6}{2} = \frac{18}{2} = 9 > 0$

Zatem

t₁ = 3 lub t₂ = 9, czyli

$3^{x_1} = t_1$

$3^{x_1} = 3$

$3^{x_1} = 3^1$

$x_1 = 1$

$3^{x_2} = t_2$

$3^{x_2} = 9$

$3^{x_2} = 3^2$

$x_2 = 2$

Odp. x = 1 i x = 2

Zad. 5.13.5

$log_5 \ 120 + (x - 3) + log_5 (0,2 - 5^{x-4}) = 2 log_5 (1- 5^{x-3})$

Dziedzina:

$0,2 - 5^{x-4} > 0 \ i \ 1 - 5^{x-3} > 0$

$- 5^{x-4} > -0,2 \ i \ - 5^{x-3} > -1$

$5^{x-4} < 0,2 \ i \ 5^{x-3} < 1$

$\frac{5^x}{5^4}< 0,2 \ i \ \frac{5^x}{5^3}< 1$

$\frac{5^x}{625}< 0,2 \ i \ \frac{5^x}{125}< 1$

$5^x < 125 \ i \ 5^x < 125$

$5^x < 5^3$

$x < 3$

zatem x < 3

$log_5 \ 120 + (x - 3) + log_5 (0,2 - 5^{x-4}) = 2 log_5 (1- 5^{x-3})$

$log_5 \ 120 + log_5 5^{x - 3} + log_5 (0,2 - 5^{x-4}) = log_5 (1- 5^{x-3})^2$

$log_5 [120 \cdot 5^{x-3} \cdot (0,2 - 5^{x-4})] = log_5 (1- 5^{x-3})^2$

$120 \cdot 5^{x-3} \cdot (0,2 - 5^{x-4}) = (1- 5^{x-3})^2$

$24 \cdot 5 \cdot \frac{5^x}{5^3} \cdot (\frac{2}{10} - \frac{5^x}{5^4}) = (1- \frac{5^x}{5^3})^2$

$Podstawiamy \ 5^x = t, \ 0 < t < 125 \ (patrz \ dziedzina)$

$24 \cdot \frac{t}{5^2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{t}{5^4}) = (1- \frac{t}{5^3})^2$

$\frac{24t}{5^3} - \frac{24t^2}{5^6} = 1 - \frac{2t}{5^3} + \frac{t^2}{5^6} \ / \cdot 5^6$

$5^3 \cdot 24t - 24t^2 = 5^6 - 5^3 \cdot 2t + t^2$

$3000t - 24t^2 -15625+250t - t^2 = 0$

$- 25t^2 +3250t - 15625 = 0 \ / \ : \ 25$

$- t^2 +130t - 625 = 0$

$\Delta = 16900- 2500 = 14400; \ \sqrt{\Delta} = 120$

$t_1 = \frac{-130-120}{-2} = \frac{-250}{-2} = 125 \ odrzucamy, \ bo \ t < 125 \ (patrz \ dziedzina)$

$t_2 = \frac{-130+120}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$

zatem t = 5

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

$x = 1 \in D$

Odp. x = 1

Zad. 5.13.6

$2log2 + (1 + \frac{1}{2x}) log 3 - log(3^{\frac{1}{x}}+27) = 0$

Dziedzina:

$3^{\frac{1}{x}}+27 > 0$

zatem

$3^{\frac{1}{x}} > 0$

$2log2 + (1 + \frac{1}{2x}) log 3 - log(3^{\frac{1}{x}}+27) = 0$

$log2^2 + log 3 + \frac{1}{2x}log 3 - log(3^{\frac{1}{x}}+27) = 0$

$log4+ log 3 + log 3^{\frac{1}{2x}} - log(3^{\frac{1}{x}}+27) = 0$

$log \frac{4 \cdot 3 \cdot 3^{\frac{1}{2x}}}{3^{\frac{1}{x}}+27} = 0$

$log \frac{12 \cdot (3^{\frac{1}{x}})^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{x}}+27} = log 1$

$\frac{12 \cdot (3^{\frac{1}{x}})^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{x}}+27} = 1$

$12 \cdot (3^{\frac{1}{x}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{x}}+27$

$Podstawiamy \ 3^{\frac{1}{x}} = t, \ t > 0 \ (patrz \ dziedzina)$

$12 \cdot t^{\frac{1}{2}} = t+27 \ / \ ^2$

$12^2 \cdot (t^{\frac{1}{2}})^2 = (t+27)^2$

$144t = t^2+54t + 729$

$t^2+54t + 729 - 144t = 0$

$t^2-90t + 729 = 0$

$\Delta = 8100-2916 = 5184; \ \sqrt{\Delta} = 72$

$t_1 = \frac{90 - 72}{2} = \frac{18}{2} = 9 > 0$

$t_2 = \frac{90+ 72}{2} = \frac{162}{2} = 81 > 0$

zatem t₁ = 9 lub t₂ = 81, czyli

$3^{\frac{1}{x_1}} = 9$

$3^{\frac{1}{x_1}} = 3^2$

$\frac{1}{x_1} = 2$

$x_1 = \frac{1}{2}$

$3^{\frac{1}{x_2}} = 81$

$3^{\frac{1}{x_2}} = 3^4$

$\frac{1}{x_2} = 4$

$x_2 = \frac{1}{4}$

Odp x = ½ i x = ¼

Zad. 5.13.7

$2x + log (1+4^x) = 2xlog5+log6$

Dziedzina:

$1+4^x > 0$

$4^x > -1$

zatem

$4^x > 0$

$2x + log (1+4^x) = 2xlog5+log6$

$log 10^{2x}+ log (1+4^x) = log5^{2x}+log6$

$log [10^{2x} \cdot (1+4^x)] = log(5^{2x} \cdot 6)$

$10^{2x} \cdot (1+4^x) = 5^{2x} \cdot 6$

$10^{2x} + 10^{2x} \cdot 4^x = 5^{2x} \cdot 6$

$100^x + 100^x \cdot 4^x = 25^x \cdot 6$

$100^x + 400^x = 25^x \cdot 6 \ / \ : \ 25^x$

$4^x +16^x = 6$

$4^x +(4^2)^x - 6 = 0$

$4^x +(4^x)^2 - 6 = 0$

$Podstawiamy \ 4^x = t, \ t > 0 \ (patrz \ dziedzina)$

$t+t^2 - 6 = 0$

$t^2 +t - 6 = 0$

$\Delta = 1 + 24 = 25; \ \sqrt{\Delta} = 5$

$t_1 = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = - 3 < 0 \ odrzucamy$

$t_2 = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2 > 0$

zatem t = 2

$4^x = 2$

$2^{2x} = 2^1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Odp. x = ½

2 votes Thanks 1

More Questions From This User See All

stokrotka833 September 2018 | 0 Replies

Napisz po WŁOSKU 8-10 zdań o swoich wakacjach/feriach w czasie przeszłym dokonanym. :)

stokrotka833 September 2018 | 0 Replies

W jaki sposób numerujemy estry przy wzorze strukturalnym? Najpierw część kwasową czy alkoholową?

stokrotka833 September 2018 | 0 Replies

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu An=2n + 7 mniejszych od 100 :) wynik to Sn=2484

stokrotka833 September 2018 | 0 Replies

Jak długo trwa rok wenusjański w stosunku do roku na Ziemi jeżeli odległość Wenus od Słońca wynosi 108,2 x 10^9m. Ziemi(149,6 x10^9m) ^-potęga Bardzo proszę o pomoc:)-na jutro

stokrotka833 September 2018 | 0 Replies

Jak długo trwa rok wenusjański w stosunku do roku na Ziemi jeżeli odległość Wenus od Słońca wynosi 108,2 x 10^9m. Ziemi(149,6 x10^9m) ^-potęga Bardzo proszę o pomoc:)

stokrotka833 September 2018 | 0 Replies

Czy należało zawrzeć unię z Litwą? -argumenty na Tak- wypisz korzyści i zagrożenia -argumenty na Nie-wypisz korzyści i zagrożenia - (co najmniej po dwa przykłady do każdego)

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Terms of Service

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.