Proszę o rozwiązanie - OSTROSŁUPY Zadanie 4,5,6,7! PILNE !.... Question from @Tysia19961996

Tysia19961996 @Tysia19961996

December 2018 1 11 Report

Proszę o rozwiązanie - OSTROSŁUPY
Zadanie 4,5,6,7! PILNE !

unicorn05 4.
Objętość ostrosłupa to: V = 1/3 Pp*h
Pp = P
Pole podstawy jest kwadratem, czyli
P=1/2 d² / * 2
2P = d²
$d= \sqrt{2P}$

tg kąta jaki tworzy wysokość tego ostrosłupa z krawędzią boczną to stosunek połowy długości przekątnej podstawy do wysokości

$tg \alpha = \frac{ \frac{1}{2} d} {h}=\frac{ \frac{\sqrt{2P} }{2} }{h}= \frac{\sqrt{2P}} {2h} \\ \\ 
tg \alpha = \frac{\sqrt{2P}}{2h}\ \ \ /*2h\\ \\ 2h*tg \alpha =\sqrt{2P} \ \ \ /:2tg \alpha \\ \\ h= \frac{\sqrt{2P}}{2tg \alpha } 
 \\ \\ \\ V= \frac{1}{3} *P *\frac{\sqrt{2P}}{2tg \alpha }=\frac{P\sqrt{2P}}{6tg \alpha }=\frac{\sqrt{2P^3}}{6tg \alpha }$

5.
Wszystkie ściany czworościanu foremnego są trójkątami równobocznymi o boku a
Spodek wysokości (H) czworościanu foremnego dzieli wysokość podstawy w stosunku 2:1
Wysokość w trójkącie równobocznym to $h = \frac{a \sqrt{3} }{2}$

Wysokość ostrosłupa (H) tworzy z dłuższą częścią wysokości podstawy (2/3 h) i krawędzią boczną (a) trójkąt prostokątny.
Stąd:
   H² = a² - (2/3 h)²

$H^2=a^2-( \frac{2}{3} * \frac{a \sqrt{3} }{2})^2 \\ \\ 
H^2=a^2-( \frac{a \sqrt{3} }{3})^2 \\ \\ 
H^2= a^2-\frac{a^2}{3} = \frac{2}{3}a^2 \\ \\ 
H = a*\frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } =a* \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } *\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } =a \frac{ \sqrt{6} }{3}$

b)
$V = \frac{1}{3} P_p*H$ $H=a \frac{ \sqrt{6} }{3}$

Pole podstawy to trójkąt równoboczny, czyli $P_p = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}$

Czyli
   $V = \frac{1}{3} * \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} *a \frac{ \sqrt{6} }{3}= \frac{a^3 \sqrt{18} }{36} =\frac{3\sqrt{2} }{36} a^3=\frac{ \sqrt{2} }{12} a^3$

c)
pole powierzchni całkowitej to cztery trójkąty równoboczne: $P_c = 4* \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} =a^2 \sqrt{3}$

V = 18√2 i $V =\frac{ \sqrt{2} }{12} a^3$

$\frac{ \sqrt{2} }{12} a^3 = 18 \sqrt{2}\ \ \ /* \frac{12}{ \sqrt{2} } \\ \\ 
a^3 = 18 \sqrt{2}* \frac{12}{ \sqrt{2} } 
 \\ \\ a^3 = 216 \\ \\ 
a = 6$

$P_c = a^2 \sqrt{3}=6^2 \sqrt{3} =36 \sqrt{3}$

6.
Pc = 7 Pp
Pp = $\frac{a^2 \sqrt{3} }{4}$ Pc = $3* \frac{1}{2} ah_1 + Pp$

$\frac{3}{2} ah_1 + \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} =7* \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \\ \\ 
 \frac{3}{2} ah_1 =6* \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \ \ \ /: \frac{3a}{2} \\ \\ 
h_1= \frac{2}{3a} *\frac{6a^2 \sqrt{3} }{4}
\\ \\ h_1=a \sqrt{3}$

Wysokość ostrosłupa (H) tworzy z wysokością ściany bocznej (h1) i 1/3 wysokości podstawy (h) trójkąt prostokątny.
   $h_1^2 = H^2 + ( \frac{1}{3} h)^2$
Stąd:
   $H^2 = (a \sqrt{3})^2-( \frac{1}{3} * \frac{a \sqrt{3} }{2})^2 \\ \\ 
H^2 = 3a^2 - \frac{1}{12}a^2 = \frac{35}{12} a^2 \\ \\ 
H = a \frac{ \sqrt{35} }{ 2\sqrt{3} } = \frac{a \sqrt{105} }{6}$

Czyli objętość:
$V = P_p*H = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} *a \frac{ \sqrt{35} }{ 2\sqrt{3} } =a^3\ \frac{ \sqrt{35} }{ 8 }$

7.
V = 1/3 Pp *H

$P_p = \frac{1}{2} a*h = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}$

kotangens kąta $\alpha$ to stosunek wysokości (H) ostrosłupa do 1/3 długości wysokości (h) podstawy.

$ctg \alpha = \frac{H}{ \frac{1}{3}* \frac{a \sqrt{3} }{2} } \\ \\ ctg \alpha = H*\frac{6}{a \sqrt{3} } \ \ \ /:\frac{6}{a \sqrt{3} } \\ \\ 
H = a\ ctg \alpha \frac{ \sqrt{3} }{6}$

Stąd:
      $V = \frac{1}{3} *\frac{a^2 \sqrt{3} }{4}*a*ctg \alpha \frac{ \sqrt{3} }{6}=\frac{a^3ctg \alpha}{24} = \frac{a^3}{24tg \alpha }$

2 votes Thanks 0