We wzorze ciągu występuje wyrażenie z wartością bezwzględną, zatem musimy rozważyć dwie możliwości w których:
opuścimy wartość bezwzględną bez zmiany znaków: [tex]\begin{array}{lll}6-(n+3)=0\\\\6-n-3=0\\\\3-n=0&|&+n\\\\\underline{\bold{n=3\in D}}\end{array}[/tex]
opuścimy wartość bezwzględną ze zmianą znaków: [tex]\begin{array}{lll}6-\left[-(n+3)\right]=0\\\\6+n+3=0\\\\9+n=0&|&-9\\\\n=-9 \notin D\end{array}[/tex]
Ciągi liczbowe
Aby wyznaczyć dowolny, kolejny wyraz ciągu wyrażony liczbą naturalną, należy tę liczbę podstawić pod każdą niewiadomą we wzorze ciągu.
Zadanie 1.
Dany jest wyraz ogólny nieskończonego ciągu (bₙ). Podaj trzy początkowe wyrazy tego ciągu.
a)
[tex]\boxed{b_n=-2n^2+5n-6}\\\\b_1=-2\cdot 1^2+5\cdot 1-6=-2+5-6=3-6=\underline{\bold{-3}}\\\\b_2=-2\cdot 2^2+5\cdot 2-6=-2\cdot 4+10-6=-8+4=\underline{\bold{-4}}\\\\b_3=-2\cdot 3^2+5\cdot 3-6=-3\cdot 9+15-6=-27+9=\underline{\bold{-18}}[/tex]
b)
[tex]\boxed{b_n=\dfrac13n^4-3n^3}\\\\b_1=\dfrac13\cdot 1^4-3\cdot 1^3=\dfrac13\cdot 1-3\cdot 1=\dfrac13-\dfrac{9}3=-\dfrac83=\underline{\bold{-2\dfrac23}}\\\\b_2=\dfrac13\cdot 2^4-3\cdot 2^3=\dfrac13\cdot 16-3\cdot 8=\dfrac{16}3-\dfrac{72}3=-\dfrac{56}3=\underline{\bold{-18\dfrac23}}\\\\b_3=\dfrac13\cdot 3^4-3\cdot 3^3=\dfrac13\cdot 3^4-3^4=3^4\left(\dfrac13-1\right)=81\cdot \left(-\dfrac23\right)=\underline{\bold{-54}}[/tex]
c)
[tex]\boxed{b_n=\sqrt3n-4\sqrt3}\\\\b_1=\sqrt3\cdot 1-4\sqrt3=\sqrt3-4\sqrt3=\underline{\bold{-3\sqrt3}}\\\\b_2=\sqrt3\cdot 2-4\sqrt3=2\sqrt3-4\sqrt3=\underline{\bold{-2\sqrt3}}\\\\b_3=\sqrt3\cdot 3-4\sqrt3=3\sqrt3-4\sqrt3=\underline{\bold{-\sqrt3}}[/tex]
Zadanie 2.
Sprawdź, które wyrazy nieskończonego ciągu (aₙ) są równe zero.
Określamy dziedzinę. Ciągi określone są na liczbach naturalnych, zatem dziedzina będzie taka sama dla wszystkich poniższych przykładów:
[tex]\underline{\underline{\bold{D: n\in \mathbb{N}}}}[/tex]
a)
[tex]\boxed{a_n=(\sqrt3n-2\sqrt3)(n^2-7)(n^2-1)(n^2+4)(n^3-0,125)}[/tex]
Ciąg dany jest w postaci iloczynowej. Aby cały ciąg był równy 0, przynajmniej jeden z czynników tego iloczynu musi być równy 0, zatem:
1 czynnik:
[tex]\begin{array}{lll}\sqrt3n-2\sqrt3=0&|&+2\sqrt3\\\\\sqrt3n=2\sqrt3&|&:\sqrt3\\\\\bold{\underline{n=2 \in D}}\end{array}[/tex]
2 czynnik:
[tex]\begin{array}{lll}n^2-7=0&|&+7\\\\n^2=7&|&\sqrt{}\\\\n=\sqrt7\notin D \wedge n=-\sqrt7 \notin D\end{array}[/tex]
Żadne z rozwiązań nie należy do dziedziny.
3 czynnik:
[tex]\begin{array}{lll}n^2-1=0&|&+1\\\\n^2=1&|&\sqrt{}\\\\\underline{\bold{n=1 \in D}} \wedge n=-1 \notin D\end{array}[/tex]
Jedno z rozwiązań należy do dziedziny.
4 czynnik:
[tex]\begin{array}{lll}n^2+4=0&|&-4\\\\n^2\neq -4\end{array}[/tex]
Kwadrat dowolnej liczby nie może być liczbą ujemną.
5 czynnik:
[tex]\begin{array}{lll}n^3-0,125=0&|&+0,125\\\\n^3=0,125&|&\sqrt[3]{}\\\\n=\sqrt[3]{\dfrac18}\\\\n=\dfrac12 \notin D\end{array}[/tex]
Rozwiązanie nie jest liczbą naturalną, więc nie należy do dziedziny.
Wniosek: 1 i 2 wyraz tego ciągu jest równy 0.
b)
[tex]\boxed{a_n=3n^3-6n^2-27n+54}[/tex]
Rozkładamy wielomian trzeciego stopnia na czynniki metodą grupowania:
[tex]a_n=3n^2(n-2)-27(n-2)\\\\a_n=(3n^2-27)(n-2)[/tex]
Kazdy z czynników iloczynu przyrównujemy do zera.
1 czynnik:
[tex]\begin{array}{lll}3n^2-27=0&|&+27\\\\3n^2=27&|&:3\\\\n^2=9&|&\sqrt{}\\\\n=-3 \notin D \wedge \underline{\bold{n=3 \in D}}\end{array}[/tex]
2 czynnik:
[tex]\begin{array}{lll}n-2=0&|&+2\\\\\underline{\bold{n=2\in D}}\end{array}[/tex]
Wniosek: 2 i 3 wyraz tego ciągu jest równy 0.
c)
[tex]\boxed{a_n=6-|n+3|}[/tex]
We wzorze ciągu występuje wyrażenie z wartością bezwzględną, zatem musimy rozważyć dwie możliwości w których:
[tex]\begin{array}{lll}6-(n+3)=0\\\\6-n-3=0\\\\3-n=0&|&+n\\\\\underline{\bold{n=3\in D}}\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{lll}6-\left[-(n+3)\right]=0\\\\6+n+3=0\\\\9+n=0&|&-9\\\\n=-9 \notin D\end{array}[/tex]
Wniosek: 3 wyraz tego ciągu jest równy 0.
d)
[tex]\boxed{a_n=n^2+2n+1}[/tex]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
[tex]\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot 1=4-4=0\\\\\\x_0=\dfrac{-2}{2\cdot 1}=\dfrac{-2}2=-1 \notin D[/tex]
Wniosek: Żaden wyraz tego ciągu nie jest równy 0.
e)
[tex]\boxed{a_n=9n^2-81}\\\\\begin{array}{lll}9n^2-81=0&|&+81\\\\9n^2=81&|&:9\\\\n^2=9&|&\sqrt{}\\\\n=-3 \notin D \wedge \underline{\bold{n=3\in D}}\end{array}[/tex]
Wniosek: 3 wyraz tego ciągu jest równy 0.
f)
[tex]\boxed{a_n=8n^4-n}\\\\[/tex]
Ciąg dany jest wielomianem 4 stopnia. Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias i każdy z czynników iloczynu przyrównujemy do zera:
[tex]8n^4-n=0\\\\n(8n^3-1)=0\\\\n=0 \notin D\\\\\begin{array}{lll}8n^3-1=0&|&+1\\\\8n^3=1&|&:8\\\\n^3=\dfrac18&|&\sqrt[3]{}\\\\n=\dfrac12 \notin D\end{array}[/tex]
Wniosek: Żaden wyraz tego ciągu nie jest równy 0.
g)
[tex]\boxed{a_n=n^4+n^2-20}\\\\n^4+n^2-20=0[/tex]
Tworzymy zmienną pomocniczą:
[tex]m=n^2[/tex]
I podstawiamy do wzoru:
[tex]m^2+m-20=0[/tex]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
[tex]\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot (-20)=1+80=81\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{81}=9\\\\m_1=\dfrac{-1-9}{2}=\dfrac{-10}2=-5 \Rightarrow n^2\neq -5\\\\m_2=\dfrac{-1+9}2=\dfrac82=4 \Right\\\\\begin{array}{lll}n^2=4&|&\sqrt{}\\\\n=-2 \notin D \wedge \underline{\bold{n=2 \in D}}\end{array}[/tex]
Wniosek: 2 wyraz tego ciągu jest równy 0.
h)
[tex]\boxed{a_n=n^5+3n^3-4n^2}\\\\n^5+3n^2-4n^2=0\\\\n^2(n^3+3n-4)=0[/tex]
Wówczas:
[tex]n^2=0 \Rightarrow n=0 \notin D[/tex]
W przypadku drugiego czynnika należy zauważyć, że jest on podzielny przez dwumian (x-1), zatem liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu.
[tex]\begin{matrix}n^2&+&n&+&4\\\cline{1-7}(n^3&&&+&3n&-&4)&:&(n-1)\\-n^3&+&n^2\\\cline{1-5}&&n^2&+&3n\\&&-n^2&+&n\\\cline{3-7}&&&&4n&-&4\\&&&&-4n&+&4\\\cline{5-7}&&&&&&=\end{matrix}[/tex]
A zatem:
[tex]\underline{\bold{n=1 \in D}}[/tex]
[tex]n^2(n-1)(n^2+n+4)=0[/tex]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe dla trzeciego czynnika iloczynu:
[tex]n^2+n+4=0\\\\\\\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot 4=1-16=-15[/tex]
Równanie to nie ma pierwiastków.
Wniosek: 1 wyraz tego ciągu jest równy 0.