PROSZĘ O JAK NAJSZYBSZE ALE TEŻ POPRAWNE ROZWIĄZANIA TYCH ZADAŃ. W ZADANIACH MOŻE BYĆ KILKA POPRAWNY.... Question from @marcin2002

marcin2002 @marcin2002

September 2018 1 105 Report

PROSZĘ O JAK NAJSZYBSZE ALE TEŻ POPRAWNE ROZWIĄZANIA TYCH ZADAŃ. W ZADANIACH MOŻE BYĆ KILKA POPRAWNYCH ODPOWIEDZI. PROSZĘ TEŻ O OBLICZENIA. ZADANIA SĄ DLA MNIE BARDZO WAŻNE

cyfra

zadanie 1

$a = 4^n+7^n = 4^2*4^{n-2}+7^n = 16(b - 7^{n - 2})+7^n = 16b - 16*7^{n-2}+49*7^{n-2} = 16b+33*7^{n-2}$

czyli jedynie dla n = 2 zachodzi podzielność

odp,: istnieje dokładnie jedno n > 1 ...

zadanie 2

$P_c = 2\pi r*H+2\pi r^2 = 2\pi r(H+r) = 24 \pi\\ r(H+r) = 12\\ r^2+rH-12 = 0\\ H = \frac{12 - r^2}{r}\\ \\ V(r) = \pi r^2*H = \pi r^2*\frac{12 - r^2}{r} = - \pi r(r - 2\sqrt{3})(r+2\sqrt{3}) = \pi(12r-r^3)\\ V'(r) = \pi(12 - 3r^2) > 0\\ -(r^2 - 4) > 0\\ -(r - 2)(r+2) > 0\\ r = 2 \Rightarrow \ max\\ V(2) = \pi(12*2-2^3) = \pi(24-8) = 16\pi$

zadanie 3

$x^2-3x+2<0\\ (x - 2)(x - 1)<0\\ x \in (1, 2)\\ \\ ax^2-(3a+1)x+3>0\\ a = 0\\ -x+3 > \\ x < 3 \Rightarrow \ ok\\ \\ a \neq 0\\ \Delta = (3a+1)^2-12a = 9a^2+6a+1-12a = 9a^2-6a+1 = (3a-1)^2\\ x_1 = \frac{3a+1 - |3a-1|}{2a}\\ x_2 = \frac{3a+1 + |3a-1|}{2a}\\ \\ a >\frac{1}{3}\\ x_1 = \frac{3a+1 - |3a-1|}{2a} = \frac{1}{a}\\ x_2 = \frac{3a+1 + |3a-1|}{2a} = 3\\ x \in \left(-\infty, \frac{1}{a}\right)\cup\left(3, +\infty\right)\\ \frac{1}{a} \geq 2\\ a \leq \frac{1}{2} \wedge a >\frac{1}{3}\\ \\ 0 < a \leq \frac{1}{3}\\ x_1 = \frac{3a+1 - |3a-1|}{2a} = 3\\ x_2 = \frac{3a+1 + |3a-1|}{2a} = \frac{1}{a}\\ x \in \left(-\infty, 3\right)\cup\left(\frac{1}{a}, +\infty\right)\\ ok\\ \\ a < 0\\ x_1 = \frac{3a+1 - |3a-1|}{2a} = 3\\ x_2 = \frac{3a+1 + |3a-1|}{2a} = \frac{1}{a}\\ \frac{1}{a} \leq 1\\ a \leq 1 \wedge a < 0\\ \\ a \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right>$

zadanie 4

oznaczenia:

|AD| = c

|<CDB| = α

|<BDA| = β

$tg\beta = \frac{a}{c}\\ \frac{a+b}{c} = tg(\alpha+\beta) = \frac{tg\alpha+tg\beta}{1 - tg\alpha*tg\beta} = \frac{tg\alpha+\frac{a}{c}}{1 - tg\alpha*\frac{a}{c}}\\ a+b - (a+b)tg\alpha*\frac{a}{c} = ctg\alpha+a\\ f(c) = tg\alpha = \frac{bc}{(a+b)a+c^2}\\ f'(c) = \frac{b(a^2+ab+c^2)-bc*2c}{((a+b)a+c^2)^2} = \frac{b(a^2+ab-c^2)}{((a+b)a+c^2)^2}\\ a^2+ab-c^2 > 0\\ a^2+ab>c^2\\ c = \sqrt{a^2+ab} \ - \ max\\ tg\lpha = f\left(\sqrt{a^2+ab}\right) = \frac{b\sqrt{a^2+ab}}{a^2+ab+a^2+ab} = \frac{b\sqrt{a(a+b)}}{2a(a+b)}$

zadanie 5

$(3n)^3 = 27n^3 = 3(9n^3) = 3k\\ (3n+1)^3 = 27n^3 + 27n^2+9n+1 = 3k+1\\ (3n+2)^3 = 27n^3+54n^2+36n+4 = 3k+1$

czyli tylko suma sześcianów 2 liczb podzielnych przez 3 jest podzielna przez 3

ile mamy podzielnych przez 3:

$1 \leq 3l\leq201\\ \frac{1}{3}\leq l\leq 67\\ l \in \{1, 2, ... 67\}$

prawdopodobieństwo:

$|A| = 67*66\\ |\Omega| = 201*200\\ \frac{67*66}{201*200} = \frac{67*22}{67*200} = \frac{11}{100}$

zadanie 6

$\frac{1}{10*11}+\frac{1}{11*12}+..+\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{10} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11}-\frac{1}{12}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{10}-\frac{1}{n+1} \rightarrow_{n\rightarrow 0} \frac{1}{10}$

zadanie 7

$S_{3n} = a_1\frac{1 - q^{3n}}{1 - q} = -104\\ S_{2n} = a_1\frac{1 - q^{2n}}{1 - q} = -32\\\\ \frac{1-(q^n)^3}{1-(q^n)^2} = \frac{104}{32} = \frac{26}{8}\\ \frac{(1 - q^n)(1+q^n+q^{2n}}{(1 - q^n)(1+q^n)} =\frac{13}{4}\\ 1 + \frac{q^{2n}}{1+q^n} = \frac{13}{4}\\ 4+4q^n+4q^{2n} = 13+13q^n\\ 4q^{2n} - 9q^n-9 = 0\\ \Delta = 9^2+9*16 = 9(9+16) = 9*25\\ q^n > 0 \(bo \ malejacy)\\ q^n = \frac{9+15}{8} = \frac{24}{8} = 3\\ \\ a_1\frac{1 - q^{2n}}{1 - q} = -32\\ \frac{a_1}{1 - q} = \frac{-32}{1-q^{2n}} = \frac{-32}{1 - 9} =4\\ S_n = \frac{a_1}{1 - q}*(1 - q^n) = 4(1 - 3) = -8$

zadanie 8

http://zapodaj.net/dad478facf02.png.html

wzór:

$\frac{a}{r} = \frac{r - a}{a}\\ a^2 = r^2 -ra\\ a^2 + ar - r^2 = 0\\ a^2+2a - 4 = 0\\ \Delta = 4 + 16 = 20\\ a>0\\ a = \frac{-2+2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} - 1$

zadanie 9

czyli ze zdarzenia przeciwnego nie wylosowania 4 oczek ani razu

prawdopodobieństwo nie wylosowania ani jednej kuli białej:

$|A_0| = 4*3*2\\ |\Omega| = 8*7*6\\ P(A_0) = \frac{4*3*2}{8*7*6} = \frac{1}{14}$

prawdopodobieństwo nie wylosowania 4 oczek:

$P(B_0) = 1$

prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie jednej kuli białej:

$|A_1| = 4*4*3*3\\ |\Omega| = 8*7*6\\ P(A_1) = \frac{4*4*3*3}{8*7*6} = \frac{3}{7}$

prawdopodobieństwo nie wylosowania 4 oczek:

$|B_1| = 5\\ |\Omega| = 6\\ P(B_1) = \frac{5}{6}$

prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch kuli białych:"

$|A_2| = 4*3*4*3\\ |\Omega| = 8*7*6\\ P(A_2) = \frac{4*4*3*3}{8*7*6} = \frac{3}{7}$

prawdopodobieństwo nie wylosowania 4 oczek:

$|B_2| = 5*5\\ |\Omega| = 6*6\\ P(B_2) = \frac{25}{36}$

prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie trzech kuli białych

$|A_3| = 4*3*2\\ |\Omega| = 8*7*6\\ P(A_3) = \frac{4*3*2}{8*7*6} = \frac{1}{14}$

prawdopodobieństwo nie wylosowania 4 oczek:

$|B_3| = 5*5*5\\ |\Omega| = 6*6*6\\ P(B_3) = \frac{125}{216}$

czyli:

$P(C') = P(A_0)*P(B_0)+P(A_1)*P(B_1)+P(A_2)*P(B_2)+P(A_3)*P(B_3)\\ P(C') = \frac{1}{14}*1+\frac{3}{7}*\frac{5}{6}+\frac{3}{7}*\frac{25}{36}+\frac{1}{14}*\frac{125}{216} = \frac{1}{14}\left(1+5+\frac{25}{6}+\frac{125}{216}\right) =\frac{1}{14}\left(10+\frac{1}{6}+\frac{125}{216}\right) = \frac{1}{14}\left(10+\frac{125+36}{216}\right) = \frac{1}{14}\left(10+\frac{161}{216}\right) = \frac{2321}{3024}\\ P(C) = 1 - P(C') = \frac{703}{3024}$

zadanie 10

okresowość:

$f(x) = 0\\ sinx2^{|sin(sinx)|} = 0\\ sinx = 0\\ 2^{|sin(sinx)|} \geq 1\\ T = 2\pi?\\ f(x) - f(x+2\pi) = sinx2^{|sin(sinx)|} - sin(x+2\pi)2^{|sin(sin(x+2\pi))|} = sinx2^{|sin(sinx)|} - sin(x)2^{|sin(sinx)|} = 0$