Promień podstawy stożka jest 2 razy dłuższy od promienia kuli wpisanej w ten stożek . oblicz cosinus.... Question from @Spokojnaanka

December 2018 1 10 Report

Promień podstawy stożka jest 2 razy dłuższy od promienia kuli wpisanej w ten stożek .
oblicz cosinus kąta rozwarcia stożka

bardzo prosze :))

irenas Narysuj równoramienny trójkąt ABC o podstawie AB.
Naszkicuj koło o środku O wpisane w ten trójkąt.
To przekrój osiowy stożka i wpisanej w ten stożek kuli.

Poprowadź wysokość CD trójkąta na podstawę AB.
Wysokość przechodzi przez O i odcinek OD jest równy r- promieniowi kuli wpisanej w stożek.
Z danych mamy:
|BD|=2r.

Odcinek OB to część dwusiecznej kąta ABC, czyli
$|\angle DBO|=|\angle OBC|=\alpha\\|\angle CDB|=2\alpha$

W trójkącie prostokatnym ODB:
$|OD|=r\\|BD|=2r\\|OB|=k\\k^2=r^2+(2r)^2=r^2+4r^2=5r^2\\k=r\sqrt{5}\\sin\alpha=\frac{r}{r\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\\cos\alpha=\frac{2r}{r\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$sin(\angle DBC)=sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4}{5}$

$|\angle DCB|=\beta=90^0-2\alpha\\cos\beta=sin2\alpha=\frac{4}{5}\\|\angle ACB|=2\beta\\cos(\angle ACB)=cos2\beta=2cos^2\beta-1\\cos(\angle ACB)=2\cdot(\frac{4}{5})^2-1=2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{32-25}{25}=\frac{7}{25}$

3 votes Thanks 2