Question

Podręcznik MATeMAtyka- zad.10 str.33
Jedno miejsce zerowe funkcji kwadratowej jest o dwa większe od drugiego. Wyznacz wzór tej funkcji, jeśli wiadomo, że parabola będąca jej wykresem ma wierzchołek w punkcie (-2, 4). Rozwiąż nierówność f(x)≤0
Proszę o porządne rozwiązanie, inaczej zgłoszę

Answer 1

Odpowiedź:

W - współrzędne wierzchołka = ( - 2 , 4 )

f(x) = a(x - p)² + q postać kanoniczna funkcji kwadratowej , gdzie p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli

f(x) = a(x + 2)² + 4

x₂ - jedno miejsce zerowe

x₁ = x₂ + 2 - drugie miejsce zerowe

p = (x₂ + x₂ + 2)/2

- 2 = (2x₂ + 2)/2

- 2 * 2 = 2x₂ + 2

- 4 = 2x₂ +2

- 4 - 2 = 2x₂

- 6 = 2x₂

x₂ = - 6/2 = - 3 - jedno miejsce zerowe

x₁ = x₂ + 2 = - 3 + 2 = - 1 - drugie miejsce zerowe

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

f(- 2) = 4

4 = a(- 2 + 1)(- 2 + 3)

4 = a * (- 1) * 1

4 = a * (- 1)

- a = 4

a = - 4

f(x) = - 4(x + 2)² + 4 wzór funkcji w postaci kanonicznej

f(x) = - 4(x² + 4x + 4) + 4 = - 4x² - 16x - 16 + 4 = - 4x² - 16x - 12 - wzór funkcji w postaci ogólnej

Wykres w załączniku

- 4x² - 16x - 12 ≤ 0

obliczamy miejsca zerowe

a = - 4 , b = - 16 , c = - 12

- 4x² - 16x - 12 = 0

Δ = b² - 4ac = (- 16)² - 4 * (- 4) * (- 12) = 256 - 192 = 64

√Δ = √64 = 8

x₁ = (- b - √Δ)/2a = (16 - 8)/(- 8) = 8/(- 8) = - 1

x₂ = ( - b + √Δ)/2a = (16 + 8)/(- 8) = 24/(- 8) = - 3

a < 0 więc ramiona paraboli skierowane do dołu , a wartości mniejsze od 0 znajdują się pod osią OX

x ∈ (- ∞ , - 3 > ∪ < - 1 , + ∞ )

Szczegółowe wyjaśnienie: