Pochodne, 7 przykładów oblicz pochodną. nie chodzi mi o wynik a o rozpisanie wszystkich przejść. zad.... Question from @Mmartynkaa

December 2018 1 59 Report

Pochodne, 7 przykładów
oblicz pochodną. nie chodzi mi o wynik a o rozpisanie wszystkich przejść. zadanie oraz poprawne odpowiedzi w załącznikach.

Paawełek Powolutku wszystkie zamieniajmy na składowe bez chaotyczności.
39)
$><br /><br /> <img src=$

Wymnażając każdą składową masz szukaną pochodną:

$y'=\dfrac{1+\cos x}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{1-\cos x}} \cdot \dfrac{2\sin x}{(1+\cos x)^2}= \\ \\ = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{1-\cos x}} \cdot \dfrac{\sin x}{1+\cos x}$

Rozwiązania różnią się tym (1+cos x)^2 masz a ja mam (1+cos x) bo się przecież skrócą. Sprawdzałem w programie że to jest prawidłowe rozwiązanie. Wyrażenie (sin x) / (1+cos x) można zapisać jako tg(x/2) Więc rozwiązanie możesz przekształcić do postaci:
$y' = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{1+cos x}{1-\cos x}} \cdot \tan \dfrac{x}{2}$
41). Zajmę się każdą sumą osobno:

$y=\ln^2 \dfrac{1}{x} \\ \\ y=u^2 \qquad u=\ln p = \qquad p=\dfrac{1}{x} \\ \\ \dfrac{dy}{du}=2u=2\ln \dfrac{1}{x} \\ \\ \dfrac{du}{dp}=\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{\frac{1}{x}}=x \\ \\ \dfrac{dp}{dx}=-\dfrac{1}{x^2} \\ \\ \hbox{Wymnazajac:} \\ \left(\ln^2 \dfrac{1}{x}\right)'=2\ln \dfrac{1}{x} \cdot x \cdot -\dfrac{1}{x^2}=-\dfrac{2}{x} \ln \dfrac{1}{x}$

Druga suma:

$(e^{x^2-1})'= (x^2-1)' e^{x^2-1}=2xe^{x^2-1} \\ \\ \hbox{Dodajac masz szukana pochodna:} \\ \\ y'=-\dfrac{2}{x}\ln \dfrac{1}{x}+2xe^{x^2-1}$

Nasze rozwiązania różnią się tylko minusem z przodu. Ale również sprawdzoine programem że musi być tam minus

42) Liczę pierw pochodną arctan \sqrt{x} :
$(\arctan \sqrt{x})' = \dfrac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{1+x} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\ \\ \hbox{Skad:}$

$y' = \dfrac{(\arctan \sqrt{x})' \cdot (x^2+1)-(x^2+1)' \cdot \arctan \sqrt{x}}{(x^2+1)^2}-\dfrac{(\cos x+1)'}{2\sqrt{\cos x+1}}= \\ \\ =\dfrac{\frac{x^2+1}{2\sqrt{x}(x+1)}-2x\arctan \sqrt{x}}{(x^2+1)^2} - \dfrac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x+1}} = \\ \\ =\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)^2}-\dfrac{2x\arctan \sqrt{x}}{(x^2+1)^2} +\dfrac{\sin x}{2\sqrt{\cos x+1}} = \\ \\ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)}-\dfrac{2x\arctan\sqrt{x}}{(x^2+1)^2}+\dfrac{\sin x}{2\sqrt{\cos x+1}}$

Taka odpowiedź jaką Ty masz nie ma prawa zaistnieć i nie ma siły rzeczy żeby do niej doprowadzić.....

43)

$y' = (e^{\sqrt{x}-\sin x})' \cdot \ln \dfrac{x}{x+1} + \left(\ln \frac{x}{x+1}\right)' e^{\sqrt{x}-\sin x} - \dfrac{(\arctan x)'}{2\sqrt{\arctan x}}= \\ \\ \\ = \left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\cos x\right)^*e^{\sqrt{x} - \sin x} \cdot \ln \dfrac{x}{x+1} + e^{\sqrt{x}-\sin x} \cdot \dfrac{1}{x(x+1)}^{**} - \\ \\ -\dfrac{1}{2\sqrt{\arctan x}(x^2+1)}^{***}$

Jak widzisz, wszystko się zgadza z Twoją odpowiedzią tutaj. Gwiazdkami oznaczyłem pewne wyrażenia. Teraz wyjaśniam skąd biorą się wyrażenia oznaczone gwiazdkami:

$* \ - \hbox{Jest to pochodna wykladnika liczby e, tj.:} \\ (\sqrt{x}-\sin x)'= (\sqrt{x})' - (\sin x)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \cos x \\ \\ **- \ \hbox{Pochodna funkcji} \ \ y=\ln \dfrac{x}{x+1}: \\ \\ \\ \left(\ln \dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{1}{\frac{x}{x+1}} \cdot \left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{x+1}{x} \cdot \dfrac{x'(x+1)-(x+1)'x}{(x+1)^2}= \\ \\ =\dfrac{x+1}{x} \cdot \dfrac{x+1-x}{(x+1)^2}=\dfrac{x+1}{x} \cdot \dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{x(x+1)}$

$***- \ \hbox{Wykorzystujesz fakt, ze} \ \ (\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}: \\ \\ \\ \dfrac{(\arctan x)'}{2\sqrt{\arctan x}}=\dfrac{\frac{1}{1+x^2}}{2\sqrt{\arctan x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{\arctan x}(1+x^2)}$

Wytlumaczyłem tak osobno, bo gdybym pisać te obliczenia w jednym ciągu to byłby kosmos :)

44) Wykorzystuję wzór
$x=e^{\ln x}\\ \hbox{Skad:} \\ \sin x = e^{\ln \sin x} \\ \hbox{Natomiast:} \\y= (\sin x)^x = \left(e^{\ln \sin x}\right)^x=e^{x \ln \sin x} \\ \\ y'=\underbrace{e^{x\ln \sin x}}_{(\sin x)^x}} \cdot \left( x\ln \sin x)'=(\sin x)^x \cdot (x' \ln \sin x + x (\ln \sin x)')=$

$=(\sin x)^x \left(\ln \sin x + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot (\sin x)'\right) =\\ = (\sin x)^x \left(\ln \sin x+x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}\right)= (\ln \sin x + x \cot x) (\sin x)^x$

Oczywiście wszystko się zgadza.

45) Rozbiję sobie również na składowe:

$y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan \dfrac{x\sqrt{3}}{1-x^2} \\ \\ y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan u \qquad u=\sqrt{3} \cdot \dfrac{x}{1-x^2} \\ \\ \\ \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{1+u^2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{1+\left( \frac{x\sqrt{3}}{1-x^2}\right)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{1+\frac{3x^2}{(1-x^2)^2}} \\ \\ \\ \dfrac{du}{dx}=\sqrt{3} \cdot \dfrac{x'(1-x^2)-(1-x^2)' x}{(1-x^2)^2}=\sqrt{3} \cdot \dfrac{1-x^2+2x^2}{(1-x^2)^2} = \\ = \sqrt{3} \cdot \dfrac{x^2+1}{(1-x^2)^2}$

$\hbox{Wymnazasz:} \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{1+\frac{3x^2}{(1-x^2)^2}} \cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{x^2+1}{(1-x^2)^2} \\ \\ \sqrt{3} \ \ \hbox{sie skracaja i masz dalej:} \\ \\ y'=\dfrac{x^2+1}{\left(1+\frac{3x^2}{(1-x^2)^2}\right) \cdot (1-x^2)^2}=\dfrac{x^2+1}{(1-x^2)^2+3x^2}$

Jest okej.

46). Obliczę pochodne składników osobno:

$\left(\ln (x+\sqrt{x^2+1})\right)'=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot (x+\sqrt{x^2+1})'= \\ \\ = \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left(1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}^*\right)=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}= \\ \\ =\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\ \\ \\ *- \ \ (\sqrt{x^2+1})'=\dfrac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}\right)' =\dfrac{x' \sqrt{x^2-1}-x (\sqrt{x^2-1})'}{x^2-1}=\dfrac{\sqrt{x^2-1}- x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}= \\ \\ \\ = \dfrac{\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=\dfrac{\frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=-\dfrac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}$

I odejmuję :

$y' = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} +\dfrac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}= \\ \\ =\dfrac{x^2-1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}+\dfrac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{x^2}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}$

Co się na szczęście też zgadza :)

0 votes Thanks 0