Question

Okrąg przechodzi przez punkty A = (0,3), B = (4,5), a jego środek należy do prostej o równaniu y = x - 2.
Wyznacz równanie tego okręgu.
Prosze o dokładne podanie co się z kąd bierze.

Answer 1

Równanie okręgu o środku S(a; b) i promieniu r.

(x-a)²+(y-b)²=r²

Środek leży na przecięciu dwóch prostych: y=x-2 oraz y=cx+d.
Prosta y=cx+d jest prostą prostopadłą do odcinka AB przechodzącą przez jego środek C.

Obliczam współrzędne środka C jako średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych punktów A i B.
C=( (0+4):2, (3+5):2 )
C=(2; 4)

Prosta przechodząca przez A i B.
Liczymy z układu równań podstawiając współrzędne punktów.
y=ex+f

3=0e+f
5=4e+f

f=3
5=4e+3
4e=2
e=0,5

(x-a)²+(y-b)²=r²
AB: y=0,5x+3

y=cx+d prostopadła do AB, gdy 0,5c=-1
c=-2 (ułamek jedna trzecia)

y=-2x+d

Prosta ta przechodzi przez punkt C(2,4). Wstawiamy współrzędne
4=-2 * 2 + d
d=8

y=-2x + 8

Środek okręgu leży w punkcie przecięcia prostych, zatem można rozwiązać układ równań:
y=-2x+8
y=x-2

-2x+8 = x-2 |*3
-3x=-10
x=10/3
y=4/3

S=(a; b) = (10/3; 4/3)

Promieniem jest odcinek AS
|AS|²=(10/3 - 0)²+(4/3-3)²
|AS|² = 100/9 + 25/9
|AS|² = 125/9
|AS| = 5√5/3
r=5√5 / 3

(x-10/3)²+(y-4/3)²=(5√5 / 3 )²
(x-10/3)²+(y-4/3)²=125/9