Question

Okrąg przechodzący przez punkt A = (-1,1) jest styczny do prostej o równaniu y = x - 2 w punkcie P = (4,2). Wyznacz równanie tego okręgu.

Answer 1

Y = x - 2, A = (-1;1) , P = (4; 2)
Szukamy równania okregu przechodzącego przez punkt A i stycznego do prostej o równaniu y = x - 2 w punkcie P =(4; 2)
Punkt P leży również na prostej prostopadlej do prostej
o równaniu y = x -2
Szukamy równania tej prostej:
a*a1 = -1 , czyli 1*a1 = -1 , stąd
a1 = -1
y = -x +b oraz P =(4; 2) zatem
2 = -4 + b ---> b = 2+ 4 = 6
Mamy równanie y = -x + 6
Szukamy teraz równania prostej AP:

y - 1 ={ [2 - 1]/[4 +1]}*( x + 1)
y-1 = (1/5) ( x+1) = (1/5)x + (1/5)
y = (1/5) x + (1/5) +(5/5)
y = (1/5) x + 6/5
------------------------
Szukamy teraz środka odcinka AP
B = ( (-1+4)/2;(1+2)/2) = (3/2; 3/2)
Szukamy teraz równania prostej symetralnej odcinka AP :
a*a2 = -1 , czyli (1/5)*a2 = -1 , wiec a2 = -5
y = -5x + b1 oraz B = (3/2 ; 3/2)
3/2 = -5*(3/2) + b1
b1 = 3/2 + 15/2 = 18/2 = 9
zatem y = -5x + 9
Proste: y = -x + 6 oraz y = -5x + 9 przecinają się w środku
okręgu S.
szukamy współrzędnych środka okręgu
-x + 6 = -5x = 9
-4x = -3 ,
x = 3/4
y = -(3/4) + 6 = -(3/4 )+ 24/4 = 21/4 = 5 i 1/4
zatem S = ( 3/4 ; 21/4)
Obliczymy teraz długość pomienia tego okręgu:
wektor AS = [3/4 +1 ;21/4 -1 ] = [7/4 ; 17/4]
IASI = r , zatem r² = (7/4)² + ( 17/4)² = 49/16 + 289/16 =
= 338/16 = 169/8
Mamy zatem równanie okręgu
(x - 3/4)² + (y - 21/4)² = 169/8
oraz
r = 13/(2√2) = (13√2)/4