Question

okresl ktora z liczb jest wieksza ,prosze o dokładne wytlumaczenie i obliczenia

2⁵⁵ 3⁴⁰

4²⁷ 5²¹

25¹⁰ 36²⁰

7¹⁵ 8¹⁶

12¹² 4¹⁹

Answer 1

W udowadnianiu która liczba jest większa, zwykle przechodzi się od jednej do drugiej, odpowiednio zwiększając lub zmniejszając jej składniki. Ważne jest by zawsze poruszać się w jedną strone, np. od liczby mniejszej do wiekszej. Bardzo trudno jest jednoznacznie wykazać gdy po drodze na zmiane się zmniejsza i zwiększa składniki. Osobiscie najpierw mniej więcej sprawdzam która liczba jest większa a która mniejsza, a potem staram się znaleść drogę miedzy nimi.

 

W dzialaniach z potęgami możemy albo zmienić potęge, albo liczbe potęgowaną. Przy tych samych potęgach, większa liczba potęgowana daje większy wynik. Przy tych samych liczbach potęgowanych, większa potęga daje większy wynik.

 

Rozbijamy na dwie czesci:

 

Ponownie rozbijamy pierwszy składnik:

 

Zwiększamy do pełnej potęgi:

 

Zwiększamy liczbe potęgowaną:

 

Wiemy że:

 

Podstawiając spowrotem do wzoru:

 

Ostatecznie udowodniliśmy że:

 

 

 

Tutaj wystarczy tylko najpierw zwiększyć liczbe potęgowaną, a potem potęge by dojść do pożądanego rezultatu:

 

 

 

Zapisujemy pierwszą liczbę w innej postaci:

 

Jako że mamy dwie liczby podniesione do tej samej potęgi, większa liczba daje większy wynik:

 

 

 

Zapisujemy pierwszą liczę w inny sposób:

 

Powiększamy liczę potęgowaną:

 

Ponownie przekształcamy:

 

Otrzymana liczba, która już jest większa od wyjściowej, nadal jest mniejsza od drugiej:

 

Więc:

 

 

(To zadanie zacząłem od zauważenia że:

       i       )

 

Rozbijamy na dwie potęgi:

 

Zauważamy że:

 

Wracamy do wzoru:

 

Przekształcamy wzór:

 

Poraz ostatni powiększamy otrzymaną liczbę:

 

I ostatecznie przekształcamy: