Question

określ wzajemne położenie prostej l i okręgu o, jeśli: a) o: (x+5)^2+y^2=1 l: y=1 b) o:x^2+y^2+8x-2y +13=0 l:y=x c) o: x^2+y^2-6x=o l:y=jednadrugax

Answer 1

równanie okręgu: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, gdzie a i b to współrzędne środka okręgu [(a;b)]
rownanie prostej: y=ax+b

a)

z równania koła wiemy, że środek okręgu (o) znajduje się w punkcie (-5;0) bo:

x-a=x+5 => a=-5
oraz wiemy, że promień (r) rowny jest 1 bo:
r^2=1 => pierwiastek z 1 zawsze jest 1.
z równania prostej wiemy, że prosta l jest prostą stałą i dla dowolnego "x" jest równa 1.

 

Mając te dane możemy wykonać rysunek pomocniczy w układzie współrzędnych XY.
Wyczytamy z niego, że prosta l przecina się tylko w jednym punkcie z okręgiem. Jest to punkt (-5;1).

 

b)

po przekształceniu podanego równania, z pomocą wzorów skroconego mnożenia (zgaduję, że was już tego uczyli) dostajemy równanie:
(x+4)^2+(y-1)^2=4

Jeśli nie wiesz jak to postaram się to wytłumaczyć w jak najprostszy sposób.

1. Poustwiajmy x przy sobie oraz y koło siebie => x^2+8x+y^2-2y+13= 0

2. Ze wzorów skróconego mnożenia [(a+b)^2= a^2+2ab+b^2] dowiadujemy się, że w nawiasie x-ów a wynosi x, 2ab równe jest 8x, więc b równe jest 4. Natomiast w nawiasie y-ów a wynosi y, 2ab równe jest -2y, więc b równe jest -1.

3. Składając to jedną całość otrzymujemy rownanie (x+4)^2+(y-1)^2+r= 0

4. Skąd się pojawiło r? Otóż równie (x+4)^2+ (y-1)^2 NIE jest równe x^2+8x+y^2-2y+13 tylko x^2+8x+y^2-2y+17 więc różnica między 13 i 17 wynosi -4 (13-17=-4, nie w odwrotnej kolejności!), które trzeba dopisać aby obie strony były równe.

5. Z tego wiem, po przeniesieniu r na prawą stronę, że r^2=4

 

A więc środek okręgu znajduje się w punkcie (-4;1) a promień wynosi 2. Prosta natomiast mając rownanie y=x przyjmuje dla y takie same wartości jak dla x [(-5;-5), (-1;-1), (0;0), (1;1) itd.] Po narysowaniu rysunku pomocniczego dowiadujemy się, że prosta nie przechodzi w żadnym punkcie przez okrąg.

c)
Żeby nie było za łatwo sam/-a zrób ten podpunkt :)

*Przepraszam za ewentualne błędy, nie jestem geniuszem, gdzieś mogłem popełnic błędy :)