Question

Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 60 cm a wysokośc poprowadzona do przeciwprostkątnej ma długość 12 cm. Oblicz długośc boków tego trójkąta.

Zadanie pochodzi z działu: PODOBIEŃSTWO

Answer 1

a i b - przyprostokątne

c - przeciw prosotkątna 

 

robimy układ równań 

 

a + b + c = 60

 

a^2 + b^2 = c^2 

 

c = ab/12 - to bierzemy ze stosunku c/a = b/12  jak narysujesz sobie trójkąt to będziesz widział ;)   -------- wyliczyliśmy c 

 

a + b + ab/12 = 60 / *12

 

12a + 12b + ab = 720 

 

12a + ab = 720 - 12 b 

 

a( 12 + b ) = 12( 60 - b )   / ( 12 + b ) 

 

a = 12( 60 -b ) / 12 + b ------- wyliczyliśmy a

 

podstawiamy nasze c 

 

a^2 + b^2 = a^2b^2/ 144       / * 144

 

144a^2 + 144b^2 = a^2b^2

 

144a^2 - a^2b^2 =  - 144b^2   / * -1 

 

a^2 ( b^2 - 144) =  144b^2   

 

a^2 = 144b^2 / b^2 - 144 - wyliczyliśmy a^2 

 

teraz tamto pierwsze a podniesiemy do kwadratu i porównamy

 

12^2 ( 60 - b  )^2 / 12^2 + b^2  =  144b^2 / b^2 - 144 

 

(60-b)^2 / b + 12 = b^2 / b - 12  ---- i na krzyż 

 

( 60 - b)^2 * ( b -12 ) = b + 12 / b^2 

 

3600b - 43200 - 120b + 1440b + b^3 - 12b^2 = b^3 + 12b^2 

 

144b^2 - 5040b + 43200 = 0   / : 144

 

b^2 - 35b + 350 = 0 

 

Δ = 1225 - 1200 = 25 

 

√Δ = 5

 

b1 =  35-5 /2 = 15    lub b2 = 35+5 /2 = 20

a1 = 12*45/27 =  20 lub a2 = 12*40/32 = 15

 

c = 20*15 / 12 = 25 

 

Boki mają, 15, 20, 25 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Pole a·b/2=c·h/2⇒ h=ab/c

zadanie mozna rozwiazac bazujec na trojkacie

3,4,5

Obwod=3+4+5=12

h=3·4/5=12/5

Jezeli przyjmiemy skale podobienstwa k=5

to

obwod: 12*5=60

h=12/5·5=12

wiec boki:

a=3·5=12

b=4·5=20

c=5·5=25

 

Lub mozna rozwiazac uklad rownan:

-------------------------

x+y+z=60

x·y/z=12 ⇒ xy=12z

z²=x²+y²

-------------------

x+y+z=60

x·y/z=12 ⇒ xy=12z

z²+24z=x²+2xy+y²

--------------------------------

x+y+z=60⇒x+y=60-z  podstawie do (3)

x·y/z=12 ⇒ xy=12z

z²+24z=(x+y)²

---------------------------------

x+y=60-z

x·y/z=12 ⇒ xy=12z

z²+24z=(60-z)²

-----------------------------

rozwiaze ostatnie rownanie

z²+24z=3600-120z+z²

144z=3600

z=3600/144=25

(x+y)²=1225

x+y=35⇒y=35-x

xy=300

35x-x²=300

x²-35x+300=0

Δ=1225-1200=25 √Δ=5

x1=(35-5)/2=15 , y1=20

x2=40/2=20 ,y2=15

 

ODP

 

Boki to 15,20,25

 

Pozdr

 

Hans