Obliczyć całkę e^2x*sin^2*x dx.... Question from @Aaaallinnnkka

December 2018 1 100 Report

Obliczyć całkę e^2x*sin^2*x dx

Paawełek $\displaystyle{} \int e^{2x} \cdot \sin^2 x \mathrm{d}x \\ \hbox{Przez czesci:} \\ u=\sin^2 x \qquad \mathrm{d}v= e^{2x} \\ \mathrm{d}u=2\sin x \cdot \cos x=\sin (2x) \qquad \\ v=\int e^{2x}\mathrm{d}x \\ \hbox{v licz metoda podstawiania:} \\ t=2x \\ \mathrm{d}t=2\mathrm{d}x \qquad /:2 \\ \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}t \\ \\ v=\int e^{2x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \int e^t \mathrm{d}t=\frac{1}{2}e^t+C =\frac{1}{2}e^{2x}$

Czyli:

$\displaystyle{} \int u\mathrm{d}v=uv - \int v\mathrm{d}u= \sin^2 x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \sin (2x) \cdot \frac{1}{2}e^{2x}\mathrm{d}x=\\ \\ =\frac{1}{2}e^{2x} \sin^2 x-\frac{1}{2}\int \sin(2x) \cdot e^{2x}\mathrm{d}x \\ \\ \hbox{Druga calka przez podstawianie:} \\ \\ t=2x \\ \mathrm{d}t=2\mathrm{d}x \qquad /:2 \\ \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}t \\ \hbox{Mamy calke:} \\ -\dfrac{1}{2}\int \frac{1}{2}\sin t \cdot e^t \mathrm{d}t=-\frac{1}{4}\int \sin t \cdot e^t \mathrm{d}t$

Następną całkę przez części ponownie:

$\displaystyle{} \int \sin t \cdot e^t \mathrm{d}t \\ u=\sin t \qquad \mathrm{d}v=e^t \\ \mathrm{d}u=\cos t \qquad v=\int e^t\mathrm{d}t=e^t \\ \\ \int \sin t \cdot e^t \mathrm{d}t=\sin t \cdot e^t-\int \cos t \cdot e^t \mathrm{d}t \\ \hbox{Znowuz przez czesci liczysz druga calke:} \\ u=\cos t \qquad \mathrm{d}v=e^t \\ \mathrm{d}u=-\sin t \qquad v=\int e^t\mathrm{d}t=e^t \\ \int \cos t \cdot e^t \mathrm{d}t=\cos t \cdot e^t+\int \sin t \cdot e^t \mathrm{d}t$

Co nam daje równość:

$\displaystyle{} \int \sin t \cdot e^t \mathrm{d}t=\sin t \cdot e^t-\cos t \cdot e^t-\int \sin t \cdot e^t \mathrm{d}t \\ \hbox{Przenosisz calke z prawej na lewa strone:} \\ \\ 2\int \sin t\cdot e^t \mathrm{d}t=e^t(\sin t - \cos t) \qquad /:2 \\ \\ \int \sin t \cdot e^t \mathrm{d}t= \frac{1}{2}e^t(\sin t - \cos t)+C$

Powracając do podstawiania:

$\displaystyle{} \int \sin (2x) \cdot e^{2x} \mathrm{d}x=\frac{1}{2} e^{2x}(\sin (2x) - \cos (2x))$
Powracam teraz do całki na samiutkim początku (przepiszę tę równość jeszcze raz a potem podstawię wyliczoną przeze mnie całkę):

$\displaystyle{} \int e^{2x} \cdot \sin^2 x \mathrm{d}x=\sin^2 x \cdot \frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{4}\int \sin (2x) \cdot e^{2x} \mathrm{d}x = \\ \\ = \frac{1}{2}e^{2x} \sin^2 x -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}e^{2x}(\sin (2x)-\cos (2x)})+C = \\ \\ =\boxed{\frac{1}{8}e^{2x}(4\sin^2 x-\sin(2x)+\cos(2x))+C}$

Oczywiście taki wynik mogłabyś zostawić, ale warto jeszcze zauważyć jedną ciekawą rzecz. To co jest w nawiasie to wyrażenie możemy przekształcić jeszcze tak:
$4\sin^2 x -\sin (2x) + \cos (2x)= 4\sin ^2 x + \cos^2 x - \sin^2 x -\sin (2x)= \\ \\ =3\sin^2 x +\cos^2 x - \sin(2x)=\\ \\ =2\sin^2 x +2\cos^2 x +\sin^2 x -\cos^2 x -\sin(2x) = \\ \\ =2(\sin^2 x +\cos^2 x) -(\cos^2 x -\sin^2 x)-\sin (2x)= \\ \\ = 2 - \cos (2x) - \sin(2x)$

i zapisać wynik całki w formie nieco prostszej:

$\dfrac{1}{8}e^{2x}(2-\cos(2x)-\sin(2x))+C$

2 votes Thanks 2

1. Ile gram PbCl2 rozpuści się w 250 cm^3 wody? Ks=1,610^-5 2. Ile gramów Fe(OH)3 rozpuści się w 5 m^3 wody? Ks=6,010^-38 3. Ile gramów MgNH4PO4 zawiera 100 cm^3 nasyconego roztworu soli? Ka=2,510^-13 4. Nasycony roztwór BaF2 zawiera 8,65210^-2 Ba2+ w 100cm^3. obliczyć iloczyn rozpuszczalności tej soli. 5. W 1793 cm^3 wody rozpuszcza się 1 g PbI2. Obliczyć iloczyn rozpuszczalności tej soli. DO WIECZORA, proszę o pomoc.

Answer

Aaaallinnnkka December 2018 | 0 Replies

Jak należy rozdzielić ładunek Q na dwie kulki, aby siła wzajemnego oddziaływania między kulkami była A. największa? B. najmniejsza? C. równa? Oblicz wartość tej siły.

Answer

Aaaallinnnkka December 2018 | 0 Replies

Czy rzeczywiście sumaryczna masa produktów reakcji jest DOKŁADNIE równa masie substratów?

Answer

Ile to będzie e^(lnx)^2... wiem, że e i ln to funkcje odwrotne, ale co zrobić z tą potęgą?

Wyznaczyć liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru k. (Metodą Gaussa): x+ky+z=1 2x+y+z=k x+y+kz=k^2

Rozwiązać równanie: (z^2-i)(z^2-3i+4)=0

Liczby zespolone. Obliczyć pierwiastek 6-go stopnia z -1

Obliczyć wartość wyrażenia. W drugim nawiasie jest (1-1/i)

Obliczyć równania płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni ln(x+y+z)+arctg y/x=pi/4 w punkcie A(-1,-1,3)

Napisać wyrażenie na stałą nietrwałości jonu akwaaminasrebra w r-rze wodnym.

Jak należy rozdzielić ładunek Q na dwie kulki, aby siła wzajemnego oddziaływania między kulkami była A. największa? B. najmniejsza? C. równa? Oblicz wartość tej siły.

Czy rzeczywiście sumaryczna masa produktów reakcji jest DOKŁADNIE równa masie substratów?

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social