Question

Oblicz wartość wyrażenia :

Bez użycia kalkulatora oczywiście :) Dam naj.

Answer 1

Po kolei rozwalam te nawiasy:

 

(2+1)(2²+1)=(2¹+2⁰)(2²+2⁰)=2³+2²+2¹+2⁰

(2³+2²+2¹+2⁰)(2⁴+2⁰)=2⁷+2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2¹+2⁰

 

Jak widać, dojdę aż do:

 

2²⁰⁴⁷+2²⁰⁴⁶+...+2²+2¹+2⁰

 

Teraz wypadałoby to pozwijać trochę:

np.:

 

2²⁰⁴⁷+2²⁰⁴⁶=2²⁰⁴⁶·2¹+2²⁰⁴⁶=3·2²⁰⁴⁶

 

Dalej podobnie i aż do końca :)

 

3·2²⁰⁴⁶+2²⁰⁴⁵=3·2·2²⁰⁴⁵+2²⁰⁴⁵=7·2²⁰⁴⁵

 

Teraz to można, żeby się nie męczyć, zapisać prościej, ponieważ jak widać:

 

2²⁰⁴⁵+2²⁰⁴⁶+2²⁰⁴⁷=7·2²⁰⁴⁵=(2³-1)·2²⁰⁴⁵

 

Korzystając z powyższej zależności, można stwierdzić, że wyrażenie powyższe można zapisać jako:

 

2²·(2²⁰⁴⁶-1)+2¹+2⁰=2¹·(2²⁰⁴⁷-1)+2⁰=2⁰·(2²⁰⁴⁸-1)=1·(2²⁰⁴⁸-1)=2²⁰⁴⁸-1

 

Pozostaje tylko:

 

2²⁰⁴⁸-1+1=2²⁰⁴⁸

 

Odp.: Wynik to 2²⁰⁴⁸.