Question

Oblicz stosunek długości krawędzi a sześcianu do długości jego przekątnej d, wiedząc, że długość d jest równa:

a). 2,8cm
b). 2√3cm.

Answer 1

Najpierw zróbmy to ogólnie
Jeśli bok kwadratu ma długość a to przekątna podstawy x to przekątna kwadratu o boku a, więc z tw Pitagorasa mamy
a²+a²=x²
x²=2a²
x=√2 * a
Przekątną sześcianu liczymy z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a oraz x=a√2 i przeciwprostokątnej d więc z tw Pitagorasa mamy
a²+(a√2)²=d²
a²+2a²=d²
d²=3a²
d=√3 * a
d=a√3
zatem długość krawędzi do długości przekątnej wynosi a/d=a/[a√3]=1/√3=(1*√3)/(√3*√3)=(√3)/3
zatem ten stosunek jest stały i bez względu na długość przekątnej wynosi zawsze tyle samo
d=2,8 cm
a√3=d /:√3
a=d/√3
a=(d√3)/3
a=(2,8√3)/3

a/d=[(2,8√3)/3]:[2,8]=[(2,8√3)/3]*[1/(2,8)]=[(√3)/3]

d=2√3 cm
a=[2√3]/√3
a=2 cm

a/d=2/(2√3)=1/(√3)=(√3)/3