Question

Oblicz :

sin do potęgi 4 - cos do potęgi 4 = 1

2(sin do potęgi 6 +cos do potęgi 6) +1 = 3(sin do potęgi 4 + cos do potęgi 4 )

Answer 1

sin do potęgi 4 - cos do potęgi 4 = 1

2(sin do potęgi 6 +cos do potęgi 6) +1 = 3(sin do potęgi 4 + cos do potęgi 4 )

 

1) sin⁴x-cos⁴x=1

ze wzoru na różnicę kwadratów:

(sin²x-cos²x)(sin²x+cos²x)=1      ponieważ  sin²x+cos²x=1

otrzymujemy  sin²x-cos²x=1 ,      cos²x=1-sin²x

sin²x-1+sin²x=1  ⇒2sin²x=2 ⇒sin²x=1 ⇒  sinx=1 ∨sinx=-1

x₁=π/2 +2πn  gdzie n=0, ±1, ±2.....

x₂=-π/2 +2πn    gdzie n=0, ±1, ±2.....

 

2) 2(sin⁶x+cos⁶x)+1=3(sin⁴x+cos⁴x)

podstawmy  sin²x=z    cos²x=1-sin²x=1-z

2(z³+(1-z)³)+1=3(z²+(1-z)²)

2(z³+1-3z+3z²-z³)+1=3(z²+1-2z+z²)

2(3z²-3z+1)+1=3(2z²-2z+1)

6z²-6z+3=6z²-6z+3  ⇒  12z=0  ⇒z=0

sin²x=0  ⇒sinx=0    ⇒   x=nπ     gdzie n=0, ±1, ±2.....