Question

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny, którego podstawa ma długość 8 a kąt między ramionami ma 120 stopni. PILNE

Answer 1

a = 8

 

tg60* = (1/2a) / h

√3 = 4 / h

h √3 = 4

h = 4/√3

h = 4√3 / 3 ----  wysokość trójkata

 

sin60* = (1/2a) / b

√3 / 2 = 4 / b

b √3 = 8

b = 8/√3

b = 8√3/3   ----  ramię trójkata

 

P = 1/2 * a * h = 1/2 * 8 * 4√3 / 3 = 16√3 / 3

 

r = 2P / (a + b + c) 

r = (2 * 16√3 / 3 ) / (8 + 8√3/3 + 8√3/3)

r = (32√3 / 3 ) / (8 + 16√3 / 3)

r = (32√3 / 3) / (24 + 16√3) / 3

r = 32√3 / 3 * 3 / (24 + 16√3)

r = 32√3 / (24 + 16√3)

r = 32√3 / 8(3 + 2√3)

r = 4√3 / (3 + 2√3)

r = 4√3(3 - 2√3) / (9 - 12)

r = (12√3 - 8*3) / (-3)

r = (12√3 - 24) / (-3)

r = 8 - 4√3    -----------  odpowiedź

Answer 2

 dane

a = 8

2α=120°

α=60°  h trojkata dzieli trojkat na dwa prostokatne o kacie α

 tangen kata α

tg60° = (½a) / h

√3 = 4 / h

√3 ·h= 4   /:√3

h = 4/√3  ·√3/√3

pozbywajac sie niewymiernosci

h = 4√3 / 3

 

sin60° = (½a) /b

√3/2 = 4/b

√3·b = 8

b = 8/√3·  √3/√3
pozbywajac sie niewymiernosci

b = 8√3/3  bok trójkata (ramie)

 ze wzoru na pole

P = ½· a ·h

P=½ ·8· 4√3 / 3 = 16√3/3

 ze wzoru na pole trojka gdzie r okregu wpisanego w dowolny trojkat

r ·½(a+b+c) = P

r=2P/(a+b+c)  c=b

r=2P/(a+2b)

r = (2 ·16√3/3 ) / (8 + 2·8√3/3 )

r = (32√3 /3 ) / (8 + 16√3 / 3)

r = (32√3/3) / (24 + 16√3) / 3   mnozymy przez odwrotnosc

r = 32√3/3 · 3/(24 + 16√3)           3 skracamy

r = 32√3 / (24 + 16√3)              wylaczamy 8

r = 32√3 / 8(3 + 2√3)        skracamy    8

r = 4√3 / (3 + 2√3)   pozbywammy sie niewymiernosci z mianownikamy

r=    4√3      ·    (3 - 2√3)     

     (3 + 2√3)         (3 - 2√3)

r = 4√3(3 -  2√3)

        (9 - 12)

r = (12√3 - 8·3)

          (-3)

r = (12√3 - 24)

          (-3)

r = -3(-4√3 +8)

          (-3)

r = 8 - 4√3