Question

Oblicz pole trójkąta ABC, o wierzchołkach A(-3;-6), B(9;3), C( -2;1), korzystając tylkoze wzoru naodległość dwóch punktów.

Answer 1

A = ( - 3; - 6),  B = ( 9; 3),  C = ( - 2; 1)

 

Obliczam długośc odcinka AB :

I AB I^2 = ( 9 - ( -3))^2 + ( 3 - ( -6))^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225

zatem

I AB I = p( 225)  = 15

----------------------------

Równanie  prostej AB :

y  = a x + b

 - 6 = - 3 a + b

3 = 9 a + b

---------------------  odejmuję stronami

3 - ( -6)  = ( 9 a + b ) - ( - 3a + b)

9 = 12 a

a = 9 /12 = 3/4

----------------------

b = - 6 + 3 a = - 6 + 3*( 3/4) = - 6 + 9/ 4 = - 6 + 2  1/4 = - 3  3/4

---------------------------------------------------------------------------------------

y = ( 3/4) x  - 3  3/4

====================

Przez punkt  C = ( - 2; 1)  prowadzę prostą prostopadłą do pr AB :

 y = ( 3/4) x  - 3  3/4

a1 = 3/4

a1*a2 = - 1  - warunek prostopadłości prostych

( 3/4) *a2 = - 1

więc

a2 = - 4/3

------------

y = ( - 4/3) x  + b2  - równanie dowolnej prostej prostopadłej do prostej AB.

Ale ma przchodzic prze z punkt C , więc

1 = ( -4/3)*(-2) + b2

1 = 8 /3  + b2

1 - 8/3 = b2

3/3 - 8/3  = b2

b2 = - 5/ 3

---------------

y = ( - 4/3) x  - 5/3  -   równanie pr  CD  zawierającej wysokość trójkąta ABC na bok AB

================

pr AB  i pr  CD  przecinają się w punkcie D

-----------------------------------------------------------

Mamy

y = ( 3/4) x  - 3   3/4

y = ( - 4/3) x  - 5/3

--------------------------  rozwiązujemy ten układ równań :

( 3/4) x  - 15/4 =  ( - 4/3) x  - 5/3;    mnożymy obustronnie przez   12

9 x - 45 = - 16 x  - 20

9 x + 16 x = 45 - 20

25 x = 25

x = 1

-------

y = ( 3/4)* 1  -  15/ 4 = 3/4 - 15/4 = - 12/4 = - 3

----------------------------------------------------------------

D = ( 1; - 3)

========

Obliczam  wysokość trójkąta czyli długośc odcinka CD :

 C = ( - 2; 1), 

 h^2 = I CD I^2 = (   1 - (-2))^2  + ( - 3 - 1)^2 = 3^2 + ( - 4)^2 = 9 + 16 = 25

więc

 h = p(25) = 5

--------------------

Pole trójkąta ABC :

P = 0,5 * I AB I *h  = 0,5 * 15* 5 = 37,5

======================================