Question

Oblicz pole trapezu, jeżele trapez jest prostokatny, opisany na kole o promieniu r, o krótszej podstawie długosci 1,5r.

Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie krok po kroku :)

Answer 1

Dwa odcinki zaznaczone na rysunku jako x są równe, co wynika z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu:

"Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do okręgu z danego punktu zewnętrznego okręgu wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności są równe." 

To samo z odcinkami oznaczonymi jako y.

Dodatkowo wiemy, że y=1,5r - r  = 0,5r (patrz->załącznik)

Prowadząc wysokość trapezu z końca krótszej podstawy, otrzymujemy trójkąt prostokątny (patrz->załącznik) o przeciwprostokątnej długości 0,5r+x oraz przyprostokątnych długości 2r oraz x-0,5r

(x+0,5r)²=(2r)²+(x-0,5r)²

x²+rx+0,25r²=4r²+x²-rx+0,25r²          /-0,25r²

x²+rx=4r²+x²-rx           /-x²

rx=4r²-rx          /+rx

2rx=4r²         /:2

rx=2r²            /:r

x=2r

Dłuższa podstawa ma długość:

a=r+x = r+2r=3r

P=0,5(1,5r+3r)*2r

P=r * 4,5r = 4,5 r²