Question

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i wysokość jego ściany bocznej tworzy kąt α taki, że sin = ⁵/₁₃. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa , jeśli jego wysokość równa jest 12 cm.

Answer 1

Niech H- wysokość w ostrosłupie
h-wysokość ściany bocznej ostrosłupa
a-długość krawędzi podstawy ostrosłupa

Przy takich oznaczeniach załącznik prezentuje połowę przekroju osiowego ostrosłupa.

Skoro sinα=5/13 to z jedynki trygonometrycznej
cos²α=1-sin²α=1-25/169=144/169
stąd cosα=12/13 (ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo dla kątów ostrych funkcje trygonometryczne mają wartości dodatnie).

cosα=12/13=H/h (z definicji)
stąd h=13 cm.

sinα=5/13=(a/2)/h
stąd a=10 cm

pole powierzchni całkowitej
Pc=Pp+4*Psb=a²+4*1/2*a*h=100+2*10*13=360cm²